Enoncé

Partie I

Soit $n$ un entier naturel.

On considère la suite $\displaystyle (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par :

 

$u_0=1$, $u_1=1$ et pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ par $\displaystyle u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$

 

1. Montrer que $u_n\in\mathbb{N}^*$.

2. Montrer que pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a : $u_n\geq n$.

Justifier que ce résultat est vrai pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$.

3. Montrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, on a : $\displaystyle u_n u_{n+2}-u_{n+1}^2=(-1)^n$

 

Partie II

$n$ est (toujours) un entier naturel :-) .

On considère les deux suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ définies pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$ par :

 

$\displaystyle\alpha_n=\frac{u_{2n-1}}{u_{2n}}\;$ et $\;\displaystyle\beta_n=\frac{u_{2n}}{u_{2n+1}}$

 

1. Montrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a :

$$\beta_n-\alpha_n=\frac{1}{u_{2n}u_{2n+1}}$$

2. En déduire que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a : $\alpha_n <\beta_n$ puis $\displaystyle\beta_n -\alpha_n<\frac{1}{n}$

3. Montrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a :

$$\alpha_{n+1}-\alpha_{n}=\frac{1}{u_{2n}u_{2n+2}}$$

4. Montrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a : $\displaystyle\alpha_n=\frac{1}{\beta_n}-1$

5. En déduire les variations des suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$.

6. Montrer que les suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ sont adjacentes.

7. En déduire la limite de $(\alpha_n)$ et de $(\beta_n)$.

 

FIN

Indications

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour les question délicates ou particulièrement difficiles :-)

— PARTIE I —

Questions 1 et 2 :

Pensez à un raisonnement par récurrence double (Vous pouvez lire ici une article sur le principe de raisonnement par récurrence double).

Question 3 :

Le cas $n=0$ ne pose pas de difficulté et l’égalité est vérifiée.

Pour $n\geq 1$, il faudra partir de l’égalité $\displaystyle u_nu_{n+2}-u_{n+1}^2=u_n(u_{n+1}+u_n)- u_{n+1}^2$ et aboutir à l’égalité $\displaystyle u_nu_{n+2}-u_{n+1}^2=u_n^2-u_{n+1}u_{n-1}$. Une première étape consiste à remplacer $u_{n+2}$ par $\displaystyle u_{n+1}+u_n$.

Ensuite, vous pouvez introduire la suite $(a_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $\displaystyle a_n=u_nu_{n+2}-u_{n+1}^2$ et trouver une relation entre $a_n$ et $a_{n-1}$ ;-)

 

— PARTIE II —

Question 1 :

Vous pouvez commencer par évaluer l’expression $\beta_n – \alpha_n$ puis utiliser la relation établie à la question 3 de la partie I pour simplifier le résultat obtenu et conclure.

Question 2 :

Pour la première inégalité : $\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}^*\,,\,\alpha_n<\beta_n\,$. Il faudra utiliser le résultat établi à la précédente question et démontrer que la quantité $\displaystyle\frac{1}{u_{2n}u_{2n+1}}$ est strictement positive pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.

 

pour la deuxième inégalité : $\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}^*\,,\,\beta_n-\alpha_n<\frac{1}{n}\,$. Il faudra également partir du résultat établi à la précédente question puis minorer la quantité $u_{2n}u_{2n+1}$ en montrant que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_{2n}u_{2n+1}\geq n$.

Question 5 :

Vous pouvez évaluer le signe du taux $\alpha_{n+1}-\alpha_{n}$ pour déterminer le sens de variation de la suite $(\alpha_n)$.

Pour la suite $(\beta_n)$, vous pouvez utiliser la relation liant $\alpha_n$ et $\beta_n$ de la question 4 puis le sens de variations de la suite $(\alpha_n)$.

Question 6 :

C’est une application directe du cours :-)

Pour montrer que les deux suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ sont adjacentes, il faut et il suffit de montrer que :

  1. Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $\alpha_n\geq\beta_n$.
  2. L’une des deux suites est croissante et l’autre est décroissante.
  3. La limite $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\beta_n-\alpha_n)=0$.

Question 7 :

Il faudra utiliser la question 6 en prenant soin de justifier les différentes étapes ;-)

Corrigé

Partie I

$n$ est un entier naturel, et $\displaystyle (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est la suite définie par :

$u_0=1$, $u_1=1$ et pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ par $\displaystyle u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$

1. $u_n\in\mathbb{N}^*$ :

La définition de la suite $\displaystyle (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ suggère d’établir ce résultat à l’aide d’une récurrence double.

Pour $n$ dans $\mathbb{N}$, on note $\mathcal{P}_n$ la propriété :

$$u_n \in\mathbb{N}^*$$

Initialisation :

On a $u_0=1\in\mathbb{N}^*$ et $u_1=1\in\mathbb{N}^*$.

 

Hérédité :

Soit $n$ dans $\mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}_n$ et $\mathcal{P}_{n+1}$ soient vraies, c’est-à-dire que $u_n\in\mathbb{N}^*$ et $u_{n+1}\in\mathbb{N}^*$.

Puisque la somme de deux entiers naturels non nuls est non nulle, alors $u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\in\mathbb{N}^*$.

La propriété $\mathcal{P}_{n+2}$ est ainsi démontrée.

On peut donc conclure que la propriété $\mathcal{P}_{n}$ est vraie pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$.

C’est à dire que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, on a $u_n\in\mathbb{N}^*$.

2. Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, on a : $u_n\geq n$ :

On montre d’abord ce résultat pour $n\geq 1$.

La définition de la suite $\displaystyle (u_n)_n$ suggère d’établir le résultat par une récurrence double.

Pour $n\geq 1$, soit $\mathcal{P}_n$ la propriété :

$$u_n \geq n$$

Initialisation :

On a $u_1=1\geq 1$ et $u_2=2\geq 2$.

Les propriétés $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont donc vérifiées.

 

Hérédité :

Soit $n\geq 1$ tel que $\mathcal{P}_n$ et $\mathcal{P}_{n+1}$ soient vraies.

On a donc,

$u_n \geq n$ et $u_{n+1} \geq n+1$

Puisque,

$$u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}$$

Alors,

$$\begin{align}u_{n+2}&\geq n+1+n\\&\geq 2n+1\\&\geq n+2 \quad\text{car }n\geq 1\end{align}$$

La propriété $\mathcal{P}_{n+2}$ est démontrée.

Et on peut conclure que la propriété $\mathcal{P}_{n}$ est vraie pour tout $n\geq 1$.

C’est à dire que pour tout $n\geq 1$, on a $u_n \geq n$.

Par ailleurs, $u_0=1\geq 0$, donc la relation $ u_n \geq n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

3. Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, on a : $\displaystyle u_n u_{n+2}-u_{n+1}^2=(-1)^n$

Pour $n=0$, la relation est bien vérifiée.

Pour $n\geq 1$, on a :

$$\begin{align}u_nu_{n+2}-u_{n+1}^2&=u_n(u_{n+1}+u_n)- u_{n+1}^2\\&=u_nu_{n+1}+u_n^2- u_{n+1}^2\\&=u_n^2-u_{n+1}(u_{n+1}-u_n)\\&=u_n^2-u_{n+1}u_{n-1}\end{align}$$

Ainsi, en posant $a_n=u_nu_{n+2}-u_{n+1}^2$ pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, on a la relation $a_n=-a_{n-1}$ pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$.

Autrement dit, $(a_n)$ est une suite géométrique de raison $-1$.

Comme $a_0=u_0u_2-u_1^2=1$, alors on a $a_n= u_nu_{n+2}-u_{n+1}^2=(-1)^n$ pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$.

D’où, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, on a $u_nu_{n+2}-u_{n+1}^2=(-1)^n$.

 

Partie II

Etude des deux suites $(\alpha_n)$ et $\beta_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

$\displaystyle\alpha_n=\frac{u_{2n-1}}{u_{2n}}$ et $\displaystyle\beta_n=\frac{u_{2n}}{u_{2n+1}}$

Notons au passage que les suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ sont bien définies car pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $u_n\in\mathbb{N}^*$ est non nul (résultat établit à la question 1 – Partie I).

1. Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a : $\displaystyle\beta_n-\alpha_n=\frac{1}{u_{2n}u_{2n+1}}$ :

Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a :

$$\begin{align}\beta_n-\alpha_n&=\frac{u_{2n}}{u_{2n+1}}-\frac{u_{2n-1}}{u_{2n}}\\&=\frac{u_{2n}^2-u_{2n+1}u_{2n-1}}{u_{2n}u_{2n+1}}\end{align}$$

Or d’après la relation établie à la question 3 de la partie I, on a pour tout entier naturel $n$ :

$$u_nu_{n+2}-u_{n+1}^2=(-1)^n$$

Soit, « en remplaçant $n$ par $2n-1$ » et $n$ dans $\mathbb{N}^*$,

$$\begin{align}u_{2n-1}u_{2n+1}-u_{2n}^2&=(-1)^{2n-1}\\&= u_{2n}^2- u_{2n-1}u_{2n+1}\\&=1\end{align}$$

D’où pour tout entier naturel non nul, on a $\displaystyle\beta_n-\alpha_n=\frac{1}{u_{2n}u_{2n+1}}$.

 

2. Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a $\alpha_n<\beta_n$ et $\beta_n-\alpha_n<\frac{1}{n}$ :

On commence par montrer que pour tout $n$ dans dans $\mathbb{N}^*$, on a : $\alpha_n<\beta_n$.

Pour ce faire, on part du résultat établit à la question précédente.

Pour tout entier naturel non nul, on a :

$$\beta_n-\alpha_n=\frac{1}{u_{2n}u_{2n+1}}$$

Puisque pour tout entier naturel $n$, $u_n\geq n$ (question 2 – Partie A), alors,

$$\begin{align}u_{2n}u_{2n+1}&\geq 2n(2n+1)\\& > 0\qquad\text{car }n>0\end{align}$$

Ainsi, $\alpha_n<\beta_n$ pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$.

On démontre ensuite que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $\displaystyle\beta_n-\alpha_n<\frac{1}{n}$.

On a établi à la question 1 (partie II) que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$ :

$$\beta_n-\alpha_n=\frac{1}{u_{2n}u_{2n+1}}$$

Donc pour montrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*\,$, $\beta_n-\alpha_n<\frac{1}{n}\,$, il suffit de montrer que $\displaystyle\frac{1}{u_{2n}u_{2n+1}}<\frac{1}{n}$ pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$ ou encore $\displaystyle u_{2n}u_{2n+1}>n$ pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$.

Puisque $u_n\geq n$ pour tout entier naturel $n$, alors,

$$\begin{align}u_{2n}u_{2n+1}&\geq 2n(2n+1)\\& > n\qquad\text{pour tout }n\in\mathbb{N}^*\end{align}$$

Ainsi, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $\displaystyle\beta_n-\alpha_n<\frac{1}{n}$

Remarque :

Grâce à ces deux inégalités, on déduit que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*\,$,

$$0<\beta_n-\alpha_n<\frac{1}{n}$$

 

3. Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $\displaystyle\alpha_{n+1}-\alpha_n=\frac{1}{u_{2n}u_{2n+2}}$ :

Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a :

$$\begin{align}\alpha_{n+1}-\alpha_n&=\frac{u_{2(n+1)-1}}{u_{2(n+1)}}-\frac{u_{2n-1}}{2n}\\&=\frac{u_{2n+1}}{u_{2n+2}}-\frac{u_{2n-1}}{2n}\\&=\frac{u_{2n}u_{2n+1}-u_{2n-1}u_{2n+2}}{u_{2n}u_{2n+2}}\end{align}$$

Par ailleurs, et d’après la relation de récurrence ($u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$) qui définit la suite $(u_n)$, on a pour tout entier naturel $n$ :

$\displaystyle u_{2n+1}=u_{2n}+u_{2n-1}$ et $u_{2n+2}=u_{2n+1}+u_{2n}$

D’où, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$,

$$\begin{align}\alpha_{n+1}-\alpha_n&=\frac{u_{2n}(u_{2n}+u_{2n-1})-u_{2n-1}(u_{2n+1}+u_{2n})}{u_{2n}u_{2n+2}}\\&=\frac{u_{2n}^2+u_{2n}u_{2n-1}-u_{2n-1}u_{2n+1}-u_{2n-1}u_{2n}}{u_{2n}u_{2n+2}}\\&=\frac{u_{2n}^2-u_{2n-1}u_{2n+1}}{u_{2n}u_{2n+2}}\end{align}$$

D’autre part, d’après le résultat établit à la question 3 de la partie I, on a pour tout entier naturel $n$ :

$$u_nu_{n+2}-u_{n+1}^2=(-1)^n$$

Soit, « en remplaçant $n$ par $2n-1$ » avec $n$ dans $\mathbb{N}^*$,

$$\begin{align}u_{2n-1}u_{2n+1}-u_{2n}^2&=(-1)^{2n-1}\\ u_{2n}^2- u_{2n-1}u_{2n+1}&=1\end{align}$$

Ainsi, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a $\displaystyle\alpha_{n+1}-\alpha_n=\frac{1}{u_{2n}u_{2n+2}}$.

 

4. Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $\displaystyle\alpha_n=\frac{1}{\beta_n}-1$ :

De par sa définition, $\beta_n$ est différent de $0$. L’écriture $\displaystyle\alpha_n=\frac{1}{\beta_n}-1$ a un sens.

Par ailleurs, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a :

$$\begin{align}\alpha_n&=\frac{u_{2n-1}}{u_{2n}}\\&=\frac{u_{2n+1}-u_{2n}}{u_{2n}}\quad\text{d’après la relation de récurrence qui définit }(u_n)\\&=\frac{u_{2n+1}}{u_{2n}}-1\\&=\frac{1}{\beta_n}-1\end{align}$$

Ainsi, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a : $\displaystyle\alpha_n=\frac{1}{\beta_n}-1$.

 

5. Variations de $(\alpha_n)$ et de $(\beta_n)$ :

Variations de $(\alpha_n)$ :

D’après le résultat établit à la question 3, on a pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$ :

$$\alpha_{n+1}-\alpha_n=\frac{1}{u_{2n}u_{2n+2}}$$

Or cette quantité est strictement positive pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$.

Ainsi, $\alpha_{n+1}-\alpha_n >0$ et la suite $(\alpha_n)$ est strictement croissante.

Variations de $(\beta_n)$ :

Pour ce faire, utilisons la relation liant $\alpha_n$ et $\beta_n$ établie à la question précédente.

Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a :

$$\alpha_n=\frac{1}{\beta_n}-1$$

Comme la suite $(\alpha_n)$ est à termes positifs, alors $\alpha_n\neq -1$ et on a :

$$\forall n\in\mathbb{N}^*\,,\quad\beta_n=\frac{1}{\alpha_n+1}$$

Il vient que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a :

$$\begin{align}\beta_{n+1}-\beta_{n}&=\frac{1}{\alpha_{n+1}+1}-\frac{1}{\alpha_n +1}\\&=\frac{\alpha_n -\alpha_{n+1}}{\alpha_n\alpha_{n+1}}\\&<0\quad\text{car la suite }(\alpha_n)\text{ est strictement croissante}\end{align}$$

Finalement, la suite $\beta_n$ est strictement décroissante.

 

6. Les suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ sont adjacentes :

Pour montrer que les deux suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ sont adjacentes, il faut et il suffit de montrer que :

  1. Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $\alpha_n\geq\beta_n$.
  2. L’une des deux suites est croissante et l’autre est décroissante.
  3. La limite $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\beta_n-\alpha_n)=0$.

Le point 1. a été démontré à la question 2 de la partie II.

Le point 2. a été démontré à la question précédente.

Le point 3. est issu de la question 2 de la partie II. En effet, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a :

$$\displaystyle 0<\beta_n-\alpha_n<\frac{1}{n}$$

Puisque la limite $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}=0$ alors la limite $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\beta_n-\alpha_n)=0$ d’après le théorème des gendarmes.

Les deux suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ sont donc adjacentes.

 

7. Limite de $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ :

Les suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ sont adjacentes. Elles ont donc la même limite. Notons $\ell$ cette limite.

Comme $u_n\in\mathbb{N}^*$ pour tout entier naturel $n$, alors $\alpha_n >0$ et $\beta_n>0$ et par suite $\ell >0$.

En passant à la limite dans la relation obtenue à la question 4 de la partie II, on a,

$$\forall n\in\mathbb{N}^*\,,\quad\ell=\frac{1}{\ell}-1$$

Soit,

$$\forall n\in\mathbb{N}^*\,,\quad\ell^2+\ell-1=0$$

L’équation $\ell^2+\ell-1=0$ d’inconnue $\ell\in\mathbb{R}$ a pour discriminant $1^2—4\times 1\times (-1)=5$ strictement positif. Elle possède donc deux solutions, à savoir $\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ et $\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

Les suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ étant à termes strictement positifs, on a nécessairement $\displaystyle\ell=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Les suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ sont adjacentes et ont une limite commune. Cette limite vaut $\displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

 

FIN

Saïd BENLAADAM
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.

Réagir à ce sujet :

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Vous pouvez utiliser les balises HTML ci-dessous :

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>