Enoncé

Soit $f$ la fonction définie par :

$$f(x)=\sqrt{x^2-2x\cos(x)+1}$$

Déterminer les limites éventuelles : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$

 

Indications

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour les passages délicats ou particulièrement difficiles ;-)

 

Avant de commencer les calculs, il ne faut pas oublier de regarder si la fonction $f$ est bien définie au voisinage de $+\infty$ ;-)

Ainsi, pour déterminer le signe de $x^2-2x\cos(x)+1$, vous pouvez remarquer que la quantité $x^2-2x\cos(x)$ est le début d’une identité remarquable …

Ensuite, pour calculer la limite de $f$ au voisinage de $+\infty$, vous pouvez commencer par factoriser par $x^2$ sous la racine.

En effet, pour tout réel $x>0$, on a :

$$\sqrt{x^2-2x\cos(x)+1}=\sqrt{x^2\left(1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}$$

 

La difficulté majeure à ce stade pourrait être le calcul de la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{2\cos(x)}{x}$.

Pour ce faire, vous pouvez encadrer la quantité $\displaystyle\frac{2\cos(x)}{x}$ …

 

Corrigé

Vérifions d’abord que $f$ est définie au voisinage de $+\infty$.

Pour que $f$ soit définie, il faut et il suffit que la quantité $\displaystyle x^2-2x\cos(x)+1$ sous la racine soit positive ou nulle.

Pour tout réel $x$, on a :

$$\begin{align}x^2-2x\cos(x)+1&=x^2-2x\cos(x)+\cos^2(x)+\sin^2(x)\\&=(x-\cos(x))^2+\sin^2(x)\\&\geq 0\quad\text{pour tout réel }x\end{align}$$

$f$ est donc définie sur $\mathbb{R}$.

Calculons maintenant la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$

La fonction $\displaystyle x^2-2x\cos(x)+1$ n’est pas une fonction polynomiale, on ne peut donc pas appliquer la règle qui consiste à dire qu’au voisinage de $-\infty$ et $+\infty$, une fonction polynomiale a les mêmes limites que son monôme de plus haut degré.

On peut en revanche commencer par deviner comment se comporte $f$ au voisinage de $+\infty$.

En effet, pour tout réel $x$ et a fortiori, pour les très grandes valeurs de $x$, on a $-1\leq\cos(x)\leq 1$, donc la quantité $\displaystyle x^2-2x\cos(x)+1$ pourrait s’écrire en quelque sorte $\displaystyle x^2-2\alpha x+1$ où $\alpha$ est un réel dans l’intervalle $[-1\,,\,1]$, ce qui nous ramènerait à un polynôme du second degré, d’où,

$$\lim_{x\to+\infty}x^2-2\alpha x+1=\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty$$

Il semble donc que $f$ admette une limite au voisinage de $+\infty$ et que cette limite soit $+\infty$. Mais pour l’instant, je n’ai rien démontré :-)

 

Voici une proposition de démonstration :

Pour tout réel $x>0$, on a :

$$\begin{align}\sqrt{x^2-2x\cos(x)+1}&=\sqrt{x^2\left(1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}\\&=|x|\times\sqrt{1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}}\\&=x\times\sqrt{1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}}\quad\text{car }x>0\end{align}$$

D’où,

$$\begin{align}\lim_{x\to +\infty}f(x)&=\lim_{x\to +\infty}\left(x\times\sqrt{1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)\\&=\lim_{x\to +\infty}x\,\times\,\lim_{x\to +\infty}\sqrt{1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}}\end{align}$$

Calcul de la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{2\cos(x)}{x}$ :

Pour tout réel $x$, on a :

$$-1\leq\cos(x)\leq 1$$

Et pour tout $x >0$ (car on est au voisinage de $+\infty$), on a :

$$-\frac{2}{x}\leq\frac{2\cos(x)}{x}\leq\frac{2}{x}$$

Comme $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}-\frac{2}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2}{x}=0$, alors, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{2\cos(x)}{x}=0$ d’après le théorème des gendarmes.

De plus, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=0$, d’où par somme,

$$\lim_{x\to +\infty}\left(1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}\right)=1$$

Par ailleurs, la fonction $\displaystyle x\mapsto\sqrt{1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}}$ est la composée de $\displaystyle x\mapsto 1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}$ par $y\mapsto\sqrt{y}$.

On peut donc écrire que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 1}\sqrt{y}=1$ par composition avec $\displaystyle y=1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}$

Puis par produit,

$$\begin{align}\lim_{x\to +\infty}x\times\sqrt{1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}}&=+\infty\times 1\\&=+\infty\end{align}$$

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.

 

Calcul de la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$ :

Pour tout réel $x>0$, on a :

$$\begin{align}\frac{f(x)}{x}&=\frac{\sqrt{x^2-2x\cos(x)+1}}{x}\\&=\sqrt{\frac{x^2-2x\cos(x)+1}{x^2}}\\&=\sqrt{1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}}\end{align}$$

On en déduit que,

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{1-\frac{2\cos(x)}{x}+\frac{1}{x^2}}$$

Or cette limite a été calculée plus haut et elle vaut $1$.

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=1$.

 


NOTE :

Si vous n’avez pas encore vu le théorème des gendarmes en cours, voici une proposition pour calculer la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{2\cos(x)}{x}$.

Pour tout réel $x$, on a :

$$|\cos(x)|\leq 1$$

D’où pour tout réel $x$ non nul,

$$\left|\frac{\cos(x)}{x}\right|\leq\frac{1}{|x|}$$

Puisque,

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{|x|}=0$$

Alors,

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{\cos(x)}{x}=0$$

Et a fortiori,

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{2\cos(x)}{x}=0$$

 

FIN

Saïd BENLAADAM
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.

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