Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$ par : $$f(x)=x^2\,\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$ 1. Vérifier que $f$ est bien définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$. 2. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}E(x)=+\infty$. 3. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{E(x)}{x^2}=0$. 4. En déduire la valeur de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$. FIN Vous trouverez dans cet onglet des indications …
Soit $f$ une fonction définie et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$ 1. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Montrer que : $$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$ 2. En déduire que si $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$, alors $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$. FIN Vous trouverez dans cet onglet …
À travers cette série d’exercices sur le calcul de limites, j’essaie de proposer un panorama des différentes formes indéterminées auxquelles vous serez confrontées en classe de terminale, et de vous donner les différentes techniques à maîtriser pour lever ces indéterminations : Expression conjuguée pour les limites faisant intervenir des sommes de racines carrées, le taux d’accroissement ou …
Calcul de limites, TSM, Série d’exercices N°1 Lire la suite »
Cet exercice réunit quelques-unes des notions importantes en ce début d’année scolaire : Calcul de limites, notion de continuité et la fonction partie entière. Il est particulièrement intéressant dans la mesure où il vous amène à mettre en oeuvre la méthode de l’encadrement, souvent utilisée dans les calculs de limites avec partie entière. Le résultat de la …
L’objectif de cet exercice est de vous donner une méthodologie pour calculer ce type de limite avec partie entière. L’exercice contient beaucoup de technicité. J’ai essayé de structurer le raisonnement de sorte à ce que vous puissiez réutiliser cette méthodologie pour d’autres exercices de limite avec partie entière. Le plus important à mon sens et …
Tout d’abord, pardon pour cette longue absence. Durant ces quinze derniers jours, j’étais très occupé par mon travail quotidien. La rentrée est synonyme de lancement de nouveaux projets dans les entreprises Je reprends le fil et je propose cet exercice qui consiste à calculer une limite avec partie entière. RAPPELS : La partie entière (par …
Dans cet article, je propose de revenir sur la notion de limite d’une fonction en un point à travers des situations simples, mais qui restent parfois peu assimilées. J’espère que cet article vous aidera en classe de terminale. Bonne lecture Soit $f$ la fonction définie par : $$f\,:\begin{cases}x-1\qquad\qquad\text{si }x\neq 2\\\text{indéfinie}\qquad\,\,\,\text{si }x=2\end{cases}$$ La représentation graphique de $f$ …
Limite en un point : Retour sur les fondamentaux Lire la suite »
Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\sqrt{x^2-2x\cos(x)+1}$$ Déterminer les limites éventuelles : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$ Vous trouverez dans cet onglet des indications pour les passages délicats ou particulièrement difficiles Avant de commencer les calculs, il ne faut pas oublier de regarder si la fonction $f$ est bien définie au voisinage de $+\infty$ …
Exercice sur les limites de fonctions : Fonction composée Lire la suite »
Dans cet exercice, je reviens sur le calcul des limites de fonctions donnant lieu à des formes indéterminées et les premières techniques pour lever ces indéterminations. Comme ses prédécesseurs que vous pouvez lire en cliquant ici et là, c’est un exercice de révisions et de rappels. Il ne présente pas de difficultés majeures et vise …
Limites de fonctions (Formes indéterminées) : Rappels et méthodes Lire la suite »
Cet exercice traitant des limites d’une fonction composée fait partie d’une série de révisions et de rappels autour des limites de fonctions. La série a été commencée hier matin avec ce premier article que vous pouvez consulter ici. Cet exercice ne présente pas de grandes difficultés, il vise avant tout à rafraîchir les connaissances, revenir sur les …
Limites d’une fonction composée : Rappels et méthodes Lire la suite »