Enoncé

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\displaystyle (O\,,\,\vec{u}\,,\,\vec{v}\,)$.

On considère les points $M_1$ et $M_2$ du plan complexe de sorte que les points $O$, $M_1$ et $M_2$ soient deux à deux distincts et non alignés.

Soient $z_1$ l’affixe du point $M_1$, $z_2$ l’affixe du point $M_2$ et $z$ l’affixe du point $M$ tel que $\displaystyle z=\frac{2z_1z_2}{z_1+z_2}$.

1. a. Montrer que $\displaystyle\frac{z_1-z}{z_2-z}\times\frac{z_2}{z_1}=-1$.

1. b. En déduire que $M$ est un point du cercle circonscrit au triangle $OM_1M_2$.

2. Montrer que si $z_2=\bar{z_1}$, alors le point $M$ est sur l’axe des réels.

3. On suppose que le point $M_2$ est l’image du point $M_1$ par la rotation $r$ de centre $O$ et d’angle $\alpha$, avec $\alpha\in ]0\,,\,\pi[$.

3.a. Exprimer $z_2$ en fonction de $z_1$ et de $\alpha$.

3.b. En déduire que le point $M$ appartient à la médiatrice du segment $[M_1M_2]$.

4. Soient $t$ un réel quelconque et $\theta$ un réel de l’intrevalle $]0\,,\,\pi[$.

On suppose que $z_1$ et $z_2$ sont des solutions de l’équation :

$$6t^2-(e^{i\theta}+1)t+(e^{i\theta}-1)=0$$

4.a. Vérifier sans calcul, que $\displaystyle z=2\frac{e^{i\theta}-1}{e^{i\theta}+1}$.

4.b Ecrire $z$ en fonction de $\theta$ sous forme trigonométrique.

 

FIN

Indications

Voici des indications pour les questions délicates ou particulièrement difficiles :)

Question 1 :

Ne pas oublier de vérifier que les dénominateurs $\displaystyle z_2-z$ et $z_1$ ne s’annulent pas.

Ceci n’est pas demandé explicitement, mais cette prise d’initiative est un vrai plus et montrera au correcteur votre esprit de rigueur.

Question 2 :

Il faudra utiliser le critère de cocyclicité de quatre points.

Question 3.b :

L’idée est de montrer que le point $M$ est équidistant de $M_1$ et de $M_2$, c’est dire que $M_1M=M_2M$.

Il faudra partir de l’affixe $z$ de $M$ puis remplacer $z_2$ par la valeur obtenue à la question 3.a et enfin passer aux modules.

Question 4.a :

L’expression « sans calcul » sous-entend « sans calculer les racines $z_1$ et $z_2$ à l’aide du discriminant $\Delta$ ».

Pour s’en affranchir, il faudra utiliser les relations qui lient les solutions et les coefficients d’une équation du second degré.

Les voici pour rappel :

Soit l’équation du second degré $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels ou des complexes tel que $a\neq 0$.

Si cette équation admet deux racines $x_1$ et $x_2$ alors on a les relations suivantes :

$$\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\times x_2=\frac{c}{a}\end{cases}$$

Corrigé

On a $\displaystyle z=\frac{2z_1z_2}{z_1+z_2}$. Avant de commencer l’exercice, avons-nous $\displaystyle z_1+z_2\neq 0$ ?

$\displaystyle z_1+z_2=0$ signifie que $\displaystyle z_1=-z_2$ c’est-à-dire que le point $O$ est le milieu du segment $[M_1M_2]$, donc les points $O$, $M_1$ et $M_2$ sont alignés.

Or, ceci n’est pas le cas d’après l’énoncé. Donc $z$ est bien défini.

 

1. a. Montrer que $\displaystyle\frac{z_1-z}{z_2-z}\times\frac{z_2}{z_1}=-1$ :

On a $z_1\neq 0$ car les points $M_1$ et $O$ sont distincts. Mais avons-nous $\displaystyle z_2-z\neq 0$ ?

On a,

$$\begin{align}z_2-z=0&\Longleftrightarrow z_2=z\\&\Longleftrightarrow z_2=\frac{2z_1z_2}{z_1+z_2}\\&\Longleftrightarrow z_1z_2+z_2^2=2z_1z_2\\&\Longleftrightarrow z_2^2=z_1z_2\\&\Longleftrightarrow z_2=z_1\quad\text{car }z_2\neq 0\\&\Longleftrightarrow M_2\equiv M_1\end{align}$$

Ce qui est contraire aux données de l’énoncé. Donc $\displaystyle z_2-z\neq 0$ et on a :

$$\begin{align}\frac{z_1-z}{z_2-z}\times\frac{z_2}{z_1}&=\frac{z_1-\frac{2z_1z_2}{z_1+z_2}}{z_2-\frac{2z_1z_2}{z_1+z_2}}\times\frac{z_2}{z_1}\\&=\frac{z_1^2+z_1z_2-2z_1z_2}{z_2z_1+z_2^2-2z_1z_2}\times\frac{z_2}{z_1}\quad\text{après division par }z_1+z_2\neq 0\\&=\frac{z_1^2-z_1z_2}{z_2^2-z_1z_2}\times\frac{z_2}{z_1}\\&=\frac{z_1(z_1-z_2)}{z_2(z_2-z_1)}\times\frac{z_2}{z_1}\\&=-1\end{align}$$

Finalement, on a bien $\displaystyle\frac{z_1-z}{z_2-z}\times\frac{z_2}{z_1}=-1$.

1. b. En déduire que $M$ est un point du cercle circonscrit au triangle $OM_1M_2$ :

Pour répondre à cette question, il faut se rappeler du critère de cocyclicité de quatre points. Le voici pour rappel :


Soient $A$ d’affixe $a$, $B$ d’affixe $b$, $C$ d’affixe $c$ et $D$ d’affixe $d$ quatre points deux à deux distincts.

Ces points sont alignés ou cocycliques si, et seulement si $\displaystyle \frac{c-b}{c-a}\times\frac{d-a}{d-b}$ est réel.


On a montré à la question précédente que $\displaystyle\frac{z_1-z}{z_2-z}\times\frac{z_2}{z_1}$ est un réel, or $\displaystyle\frac{z_1-z}{z_2-z}\times\frac{z_2}{z_1}=\frac{z_1-z}{z_2-z}\times\frac{z_2-z_O}{z_1-z_O}$, donc les points $O$, $M_1$, $M_2$ et $M$ sont cocycliques.

Par conséquent, le point $M$ appartient au cercle circonscrit au triangle $OM_1M_2$.

2. Montrer que si $z_2=\bar{z_1}$, alors le point $M$ est sur l’axe des réels :

Le point $M$ est sur l’axe des réels signifie que $\text{Im}(z)=0$.

On a,

$$z=\frac{2z_1z_2}{z_1+z_2}$$

On remplace $z_2$ par $\bar z_1$ selon l’hypothèse de l’énoncé,

$$z=\frac{2z_1\bar{z_1}}{z_1+\bar{z_1}}$$

Comme $z_1$ s’écrit de manière unique sous la forme (algébrique) $z_1=x+iy$ où $x$ et $y$ sont des réels, on a,

$\displaystyle z_1\bar{z_1}=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2=|z_1|^2$ et $\displaystyle z_1+\bar{z_1}=x+iy+x-iy=2x=2\text{Re}(z_1)$

d’où,

$$z=\frac{|z_1|^2}{\text{Re}(z_1)}\in\mathbb{R}$$

Si $z_2=\bar{z_1}$, alors le point $M$ d’affixe $z$ est sur l’axe des réels.

3. On suppose que le point $M_2$ est l’image du point $M_1$ par la rotation $r$ de centre $O$ et d’angle $\alpha$, avec $\alpha\in ]0\,,\,\pi[$.
3.a. Exprimer $z_2$ en fonction de $z_1$ et de $\alpha$ :

Ceci est une application directe du cours.

Le point $M_2$ d’affixe $z_2$ est l’image du point $M_1$ d’affixe $z_1$ par la rotation $r$ de centre $O$ et d’angle $\alpha$ ($\alpha\in ]0\,,\,\pi[$) signifie que $\displaystyle z_2=e^{i\alpha}z_1$.

3.b. En déduire que le point $M$ appartient à la médiatrice du segment $[M_1M_2]$ :

Pour montrer que le point $M$ appartient à la médiatrice du segment $[M_1M_2]$, il suffit de montrer que le point $M$ est équidistant de $M_1$ et de $M_2$, c’est dire que $M_1M=M_2M$.

On a d’après le résultat établi à la question 1,

$$\frac{z_1-z}{z_2-z}\times\frac{z_2}{z_1}=-1$$

On en déduit que ,

$$\frac{z_1-z}{z_2-z}=-\frac{z_1}{z_2}$$

D’après la question précédente, on a $\displaystyle z_2=e^{i\alpha}z_1$, d’où,

$$\frac{z_1-z}{z_2-z}=-\frac{z_1}{e^{i\alpha}z_1}=-e^{-i\alpha}$$

Par passage aux modules, on a,

$$\bigg|\frac{z_1-z}{z_2-z}\bigg|=\big|-e^{-i\alpha}\big|$$

Soit,

$$\frac{|z_1-z|}{|z_2-z|}=1$$

Finalement,

$$|z_1-z|=|z_2-z|$$

Ainsi, $\displaystyle MM_1=MM_2$.

Le point $M$ est équidistant des points $M_1$ et $M_2$. $M$ est donc sur la médiatrice du segment $[M_1M_2]$.

4. Soient $t$ un réel et $\theta$ un réel de l’intrevalle $]0\,,\,\pi[$.

On suppose que $z_1$ et $z_2$ sont des solutions de l’équation :

$$6t^2-(e^{i\theta}+1)t+(e^{i\theta}-1)=0$$

4.a. Vérifier sans calcul, que $\displaystyle z=2\frac{e^{i\theta}-1}{e^{i\theta}+1}$ :

L’expression « sans calcul » sous-entend « sans calculer les racines $z_1$ et $z_2$ à l’aide du discriminant $\Delta$ » car on rentrerait dans des calculs longs et interminables ;)

L’équation $\displaystyle 6t^2-(e^{i\theta}+1)t+(e^{i\theta}-1)=0$ est une équation du second degré. Si $z_1$ et $z_2$ en sont des solutions, alors d’après la relation qui lie la somme des racines d’une part et le produit des racines d’autre part, on a :

$\displaystyle z_1+z_2=\frac{e^{i\theta}+1}{6}$ et $\displaystyle z_1\times z_2=\frac{e^{i\theta}-1}{6}$.

Comme $\displaystyle z=\frac{2z_1z_2}{z_1+z_2}$, alors $\displaystyle z=\frac{2(e^{i\theta}-1)}{e^{i\theta}+1}$.

Si $z_1$ et $z_2$ sont solutions de l’équation $\displaystyle 6t^2-(e^{i\theta}+1)t+(e^{i\theta}-1)=0$, alors on a $\displaystyle z=\frac{2(e^{i\theta}-1)}{e^{i\theta}+1}$.

4.b Ecrire $z$ en fonction de $\theta$ sous forme trigonométrique :

On part du résultat établi à la question précédente et on a,

$$\begin{align}z&=\frac{2(e^{i\theta}-1)}{e^{i\theta}+1}\\\\&=2\frac{e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)}{e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}}+e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)}\\&=2\frac{e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}}{e^{i\frac{\theta}{2}}+e^{-i\frac{\theta}{2}}}\end{align}$$

Or d’après Euler, on a,

$\displaystyle\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\displaystyle\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

On en déduit que,

$$\begin{align}z&=2i\frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}\quad ,\theta\in]0\,,\,\pi[\text{ donc }\frac{\theta}{2}\neq \frac{\pi}{2}\\\\&=2i\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{align}$$

L’expression $\displaystyle z=2i\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$ est une forme trigonométrique de $z$.

Remarque :

Notons au passage que $\displaystyle z=2i\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\pi}{2}}$. Donc $z$ est le nombre complexe de module $\displaystyle 2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et d’argument $\displaystyle\frac{\pi}{2}$.

Saïd BENLAADAM
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.

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