Enoncé
Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs, et $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0\,,\,+\infty[$ par :
$$\begin{cases}f(xy)=f(x)+f(y)\\\\f \text{ est continue au point } x_0=1\end{cases}$$
1. Calculer $f(1)$.
2. Soit $\alpha$ un réel strictement positif.
2.1 Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a :
$$f(x)=f\left(\frac{x}{\alpha}\right)+f(\alpha)$$
2.2 Calculer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to\alpha}f(x)$ puis en déduire que $f$ est continue au point $x_0=\alpha$.
3. $f$ est-elle continue sur $]0\,,\,+\infty[$ ?
FIN
Indications
Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice 
Question 2.1 :
L’idée est de remarquer que pour tous réels $x$ et $\alpha$ strictement positifs, on peut écrire :
$$f(x)=f\left(\frac{x}{\alpha}\times\alpha\right)$$
Question 2.2 :
Vous pouvez utiliser le résultat établit à la question précédente, à savoir que pour tous réels $x$ et $\alpha$ strictement positifs, on a :
$$f(x)=f\left(\frac{x}{\alpha}\right)+f(\alpha)$$
Puis de passer à la limite.
Attention : Il faudra justifier avec soin le passage : $\displaystyle\lim_{x\to\alpha}f\left(\frac{x}{\alpha}\right)=f(1)$. C’est très important
Corrigé
$x$ et $y$ sont deux réels strictement positifs.
$f$ est la fonction définie sur l’intervalle $]0\,,\,+\infty[$ par :
$$\begin{cases}f(xy)=f(x)+f(y)\\\\f \text{ est continue au point } x_0=1\end{cases}$$
1. Calcul de $f(1)$ :
D’après la définition de $f$, on a :
$$\begin{align}f(1)&=f(1\times 1)\\&=f(1)+f(1)\\&=2\,f(1)\end{align}$$
La seule valeur possible et vérifiant l’égalité $f(1)=2\,f(1)$ est $f(1)=0$.
2.1 Montrer que pour tout réel $\alpha$ strictement positif, et pour tout réel $x$ strictement positif, on a :
$$f(x)=f\left(\frac{x}{\alpha}\right)+f(\alpha)$$
Soient $x$ et $\alpha$ deux réels strictement positifs.
On a,
$$\begin{align}f(x)&=f\left(\frac{x}{\alpha}\times\alpha\right)\\&=f\left(\frac{x}{\alpha}\right)+f(\alpha)\qquad\text{d’après la définition de }f\end{align}$$
2.2 Calcul de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to\alpha}f(x)$ puis en déduire que $f$ est continue au point $x_0=\alpha$ :
Pour ce faire, on utilise le résultat établit à la question précédente.
On a,
$$\begin{align}\lim_{x\to\alpha}f(x)&=\lim_{x\to\alpha}\left(f\left(\frac{x}{\alpha}\right)+f(\alpha)\right)\\\\&=\lim_{x\to\alpha}f\left(\frac{x}{\alpha}\right)+f(\alpha)\end{align}$$
Lorsque $x$ tend vers $\alpha$, la quantité $\displaystyle\frac{x}{\alpha}$ tend vers $1$. Comme $f$ est continue en $1$, alors on peut écrire,
$$\begin{align}\lim_{x\to\alpha}f\left(\frac{x}{\alpha}\right)&=f(1)\\&=0\end{align}$$
Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to\alpha}f(x)=f(\alpha)$. On en déduite que $f$ est continue au point $x_0=\alpha$.
3. $f$ est-elle continue sur $]0\,,\,+\infty[$ ?
La réponse est oui 
D’après la question précédente, $f$ est continue en tout point $\alpha$ de $\mathbb{R}_+^*$. $f$ est donc continue sur $\mathbb{R}_+^*$.
FIN
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.
1. On pose $x=y=1$ et on trouve après simplification $f(1)=0$.
2-1. $x$ est st positif donc on pose $y=\frac{1}{x}$ on trouve que $f(1)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ cela équivaut à $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=0$
donc on a pour $\alpha$, $\displaystyle f(\alpha) + f\left(\frac{1}{a}\right)=0$
alors
en posant $\displaystyle y=\frac{1}{\alpha}$ et puis on remplace dans l’équation on a donc $\displaystyle f(x) = f\left(\frac{x}{\alpha}\right) – f\left(\frac{1}{\alpha}\right)$
or $\displaystyle f\left(\frac{1}{\alpha}\right) = -f(\alpha)$
idem $\displaystyle f(x) = f\left(\frac{x}{\alpha}\right) + f(\alpha)$ qlq soit $\alpha$ st positif.
2-2 $\displaystyle\lim_{x\to\alpha}f(x)=\lim_{x\to\alpha} f\left(\frac{x}{\alpha}\right) + f(\alpha) = f(1) + f(\alpha) = f(\alpha)$
donc qlq soit $\alpha $, $f$ est continue en $\alpha$ st positif
3 on a $f$ est continue en tout points $\alpha$ quelconque de $\displaystyle ]0\,,\,+\infty [$ , donc f est continue sur cet intervalle
fathallah 2ème bac sm bio : Ma question est « comment on peut déterminer toutes les fonctions continues sur cet intervalle ? intuitivement c’est la fonction $\ln$ mais rigoureusement comment le démontrer ? »
Merci d’avance.
Bonjour Fath Allah,
Merci d’avoir le temps de faire cet exercice
Tu peux comparer ta méthode avec la correction donné dans l’onglet « Corrigé »
Concernant ta question très pertinente (joli intuition au passage), voici un exercice plus ou moins faisable si on se limite au programme de la terminale Sciences Maths.
Si tu le fais, tu répondras à ta question.
Si tu as des interrogations, n’hésite pas à nous le dire
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Bonne journée.
Saïd
merci bcp monsieur