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, le il y a 8 années et 5 mois.
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Messages
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Hello
Lors d’une révision d’un cours de notre prof sur les applications, j’ai lu qu’une application injective est une application ou chaque image de l’ensemble des arrivées admet au plus un antécédant dans l’ensemble de départ, c’est ça la définition; ma question est ce qu’on peut considérer une fonction définie sur son domaine de définition Df comme application injective ?
Merci.
Bonsoir Paradox,
La réponse est non
La façon la plus simple pour le démontrer est de prendre un contre-exemple.
La fonction $f$ définie par $\displaystyle f(x)=x^2$ est définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ mais n’est pas injective.
Pour le montrer, il suffit de montre qu’ils existent deux réels $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1)=f(x_2)$ et $x_1\neq x_2$.
Tu as $f(1)=1$ et $f(-1)=1$, donc $f(1)=f(-1)$
Ils existent donc deux réels $x_1=1$ et $x_2=-1$ tels que $x_1\neq x_2$ et $f(x_1)=f(x_2)$.
$f$ n’est donc pas injective.
Saïd
Hello Said BENLAADAM
je vous remercie pour ton message, mais il y a un truc, la fonction x² définie de IR vers IR , n’est pas une application injective ??
Re
peut-être que je n’ai pas bien poser la question, ou je me suis mal compris, ma question d’abord n’est pas un exercice…vous voyez la définiton d’une application injective est unique il n’y a pas d’autres définitions, vous m’avez donné un contre-exemple de la fonction x² définie sur IR à valeurs dans IR, mais l’application x² de IR vers IR déja n’est pas injective !
j’attends votre réponse, sinon vous pouvez me dire ce que vous n’avez pas compris dans ma question.
merci à bientôt.
Hello Paradox,
Du coup, je crains que je n’ai pas compris la question
Ma compréhension est la suivante : Est-ce que toute fonction définie est injective ?
Du coup, je t’ai répondu via le contre-exemple (évidement $f\,:\,x\mapsto x^2$ n’est pas injective), et je t’avoue que j’avais un doute quant à la question mais j’ai répondu malgré tout, sait-on jamais
Dans l’attente de la question reformulée
Saïd
Re Mr Said
Aprés des recherches sur le web, je me suis arrivé à savoir la réponse de ma question.
d’abord, il y a une différence entre une application et une fonction, qu’on en parle pas dans l’école, l’élève apprend les applications , puis quand le prof passe à la leçon de fonctions,…bon il se dit c’est quoi la différence entre une application et une fonction , et d’autres ne pose pas la question ??
bon pour le bref, je cite la différence entre les deux :
* une fonction est une relation d’un ensemble E vers un ensemble F ( ou chaque antécédant admet au plus une image).
*une application est une relation d’un ensemble E vers un ensemble F ( ou chaque antécédant admet une seule image).
cela veut dire qu’une fonction définie sur son domaine de définition est une application.donc je reviens sur ma question mal formulée , sans parler de l’injectivité, une application est une fonction définie sur son domaine de définition.
ensuite on déduit vraiment qu’une fonction ou application peut -être injective. mais c’est quoi l’utilité de considérer une fonction par exemple |x| (valeur absolue) définie de IR à valeurs dans IR ? c’est une fonction qui n’est pas injective , … car déja il prends des valeurs dans IR ?? or la valeur absolue est toujours positive, donc pourquoi on choisie l’ensemble d’arrivée IR? il y-a-t il d’autres fonction de IR vers IR (à part x² et valeur absolue) qui ne sont pas injective ?
la question est ouverte
Cordialement
Bonsoir Paradox,
Tout d’abord, je te prie de m’excuser pour ma réponse tardive.
Tu as raison sur la nuance entre fonction et application. Elle existe et tu as bien eu raison de le rappeler. Moi-même j’ai lu ton message trop vite et je suis passé à côté. Finalement, ta question était bien posée, et c’est moi qui l’ai lue trop vite
Pour répondre à ta question : Y a-t il d’autres fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ à part $x^2$ et valeur absolue qui ne soient pas injective ?
La réponse est oui
Par exemple, la fonction $f$ définie $\mathbb{IR}$ dans $\mathbb{IR}$ par :
$$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$$
Tu peux t’amuser à le démontrer en partant de la définition :
Si $f$ est injective, alors $\forall x_1\,,\,x_2\in\mathbb{R}\,$, $f(x_1)=f(x_2)\quad\Rightarrow x_1=x_2$
Saïd
Re mr said
Non il n’y a pas de soucis, je ne suis pas pressé pour la réponse, de temps en temps je passe ici chaque jour, donc c’est pas la peine de me répondre si vite
en tout cas merci ça me fait plaisir d’avoir des conversations avec les membres de ce forum, car j’étais ďeja dans l’ancien. Le nouveau site est bien, souple et modeste…félicitation et bonne continuation.Pour la fonction f elle est déja impaire donc il y a une symetrie par rapport á l’origine du repére . Donc pas d’im1ges égaux avec des antécédents égaux ( sauf f (x)=f (0) ==> x=0).Sinon on fait la contraposé on suppose x différent de y et on montre par des implications successives que f (x) différent de f (y). Désolé j’ai pas un outil pour taper le Latex ici.
A bientot
Salut,
$f(3)=f\left(\frac{1}{3}\right)$ mais $3\neq\frac{1}{3}$
Voici un lien pour insérer le code latex : les code latex
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