Limites, partie entière

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice

 

$f$ est la fonction définie sur l’intervalle $[1,+\mathrm{\infty }[$ par :

$$f(x)=x^2\sin \left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$

 

Question 1 :

L’idée ici est de s’interroger sur la définition de $f$.

$f$ est-elle définie partout sur l’intervalle $[1,+\mathrm{\infty }[$ ? Y a-t-il des points de cet intervalle où $f$ semble ne pas être définie ?

D’après la construction de $f$, il est par exemple légitime de s’interroger sur le comportement de $f$ en $0$ …

 

Questions 2 :

Pour répondre à cette question, il faudra utiliser la définition de la fonction partie entière puis conclure à l’aide de l’un des théorèmes de comparaison sur les limites.

 

Question 3 :

Comme pour la question précédente, il faudra partir de la définition de la fonction partie entière, reconstituer l’expression de $f$ puis conclure à l’aide du théorème des gendarmes.

 

Question 4 :

La clé de cette question est de penser à écrire $f$ sous la forme :

$$f(x)=E(x)\times \frac{x^2}{E(x)}\sin \left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$

Puis calculer la limite demandée en utilisant successivement les résultats des questions 3 et 2.

 

FIN

$f$ est la fonction définie sur l’intervalle $[1,+\mathrm{\infty }[$ par :

$$f(x)=x^2\sin \left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$

 

1. $f$ est bien définie sur l’intervalle $[1,+\mathrm{\infty }[$ :

On peut s’interroger sur la définition de $f$ en $0$ à cause de la présence de $x^2$ au dénominateur.

On sait que pour tout réel $x$, on a :

$$-1\le \sin \left(\frac{E(x)}{x^2}\right)\le 1$$

D’où en multipliant les membres de l’inégalité ci-dessus par $x^2$,

$$-x^2\le x^2\sin \left(\frac{E(x)}{x^2}\right)\le x^2$$

Puisque ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}-x^2=0}$ et ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{x}^2=0}$ alors ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{x}^2\sin \left(\frac{E(x)}{x^2}\right)=0}$ d’après le théorème des gendarmes.

$f$ est donc bien définie sur l’intervalle $[1,+\mathrm{\infty }[$.

 

2. Montrer que : ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}E(x)=+\mathrm{\infty }}$ :

Soit $x$ un réel de l’intervalle $[1,+\mathrm{\infty }[$.

On a d’après la définition de la fonction partie entière :

$$x\le E(x)$$

Puisque ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x=+\mathrm{\infty }}$, alors ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}E(x)=+\mathrm{\infty }}$ (d’après les théorèmes de comparaisons).

 

3. Montrer que : ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{E(x)}{x^2}=0}$ :

Soit $x$ un réel strictement positif.
J’ai choisi de restreindre l’intervalle aux réels strictement positifs pour deux raisons : 1/ On cherche la limite au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, donc n’importe que intervalle de ${\mathbb{R}}_{\mathbb{+}}^{\mathbb{\ast }}$ convient. 2/ En choisissant $x$ dans l’intervalle $[1,+\mathrm{\infty }[$, on sera confronté à la division par $0$.

On a d’après la définition de la fonction partie entière :

$$x\le E(x)<x+1$$

$x$ est strictement positif, alors :

$$\frac{1}{x}\le \frac{E(x)}{x^2}<\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$$

Puisque ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0}$ et ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})=0}$,

Alors d’après le théorème des gendarmes, on a ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{E(x)}{x^2}=0}$.

 

4. En déduire la valeur de la limite : ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$ :

Soit $x$ un réel strictement positif.

On peut réécrire $f$ sous la forme :

$$f(x)=E(x)\times \frac{x^2}{E(x)}\sin \left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$

 

La fonction ${\displaystyle x\mapsto \frac{x^2}{E(x)}\sin \left(\frac{E(x)}{x^2}\right)}$ est la composée de ${\displaystyle x\mapsto \frac{E(x)}{x^2}}$ et de ${\displaystyle X\mapsto \frac{\sin (X)}{X}}$ or ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{E(x)}{x^2}=0}$ d’après la question 3 et ${\displaystyle \underset{X\to 0}{lim}\frac{\sin (X)}{X}=1}$.

On peut donc écrire que ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{E(x)}\sin \left(\frac{E(x)}{x^2}\right)=\underset{X\to 0}{lim}\frac{\sin (X)}{X}=1}$ par composition avec ${\displaystyle X=\frac{E(x)}{x^2}}$.

 

Puisque ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}E(x)=+\mathrm{\infty }}$ d’après la question 2, alors ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }}$.

 

FIN