Limites, partie entière

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$ par :

$$f(x)=x^2\,\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$

 

1. Vérifier que $f$ est bien définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$.

2. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}E(x)=+\infty$.

3. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{E(x)}{x^2}=0$.

4. En déduire la valeur de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$.

 

FIN

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice

 

$f$ est la fonction définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$ par :

$$f(x)=x^2\,\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$

 

Question 1 :

L’idée ici est de s’interroger sur la définition de $f$.

$f$ est-elle définie partout sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$ ? Y a-t-il des points de cet intervalle où $f$ semble ne pas être définie ?

D’après la construction de $f$, il est par exemple légitime de s’interroger sur le comportement de $f$ en $0$ …

 

Questions 2 :

Pour répondre à cette question, il faudra utiliser la définition de la fonction partie entière puis conclure à l’aide de l’un des théorèmes de comparaison sur les limites.

 

Question 3 :

Comme pour la question précédente, il faudra partir de la définition de la fonction partie entière, reconstituer l’expression de $f$ puis conclure à l’aide du théorème des gendarmes.

 

Question 4 :

La clé de cette question est de penser à écrire $f$ sous la forme :

$$f(x)=E(x)\times\frac{x^2}{E(x)}\,\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$

Puis calculer la limite demandée en utilisant successivement les résultats des questions 3 et 2.

 

FIN

$f$ est la fonction définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$ par :

$$f(x)=x^2\,\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$

 

1. $f$ est bien définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$ :

On peut s’interroger sur la définition de $f$ en $0$ à cause de la présence de $x^2$ au dénominateur.

On sait que pour tout réel $x$, on a :

$$-1\leq\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)\leq 1$$

D’où en multipliant les membres de l’inégalité ci-dessus par $x^2$,

$$-x^2\leq x^2\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)\leq x^2$$

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to 0}-x^2=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2=0$ alors $\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)=0$ d’après le théorème des gendarmes.

$f$ est donc bien définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$.

 

2. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}E(x)=+\infty$ :

Soit $x$ un réel de l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$.

On a d’après la définition de la fonction partie entière :

$$x\leq E(x)$$

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x=+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}E(x)=+\infty$ (d’après les théorèmes de comparaisons).

 

3. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{E(x)}{x^2}=0$ :

Soit $x$ un réel strictement positif.
J’ai choisi de restreindre l’intervalle aux réels strictement positifs pour deux raisons : 1/ On cherche la limite au voisinage de $+\infty\,$, donc n’importe que intervalle de $\mathbb{R_+^*}$ convient. 2/ En choisissant $x$ dans l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$, on sera confronté à la division par $0$.

On a d’après la définition de la fonction partie entière :

$$x\leq E(x)<x+1$$

$x$ est strictement positif, alors :

$$\frac{1}{x}\leq\frac{E(x)}{x^2}<\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$$

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)=0$,

Alors d’après le théorème des gendarmes, on a $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{E(x)}{x^2}=0$.

 

4. En déduire la valeur de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ :

Soit $x$ un réel strictement positif.

On peut réécrire $f$ sous la forme :

$$f(x)=E(x)\times\frac{x^2}{E(x)}\,\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$

 

La fonction $\displaystyle x\mapsto\frac{x^2}{E(x)}\,\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$ est la composée de $\displaystyle x\mapsto\frac{E(x)}{x^2}$ et de $\displaystyle X\mapsto\frac{\sin(X)}{X}$ or $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{E(x)}{x^2}=0$ d’après la question 3 et $\displaystyle\lim_{X\to 0}\frac{\sin(X)}{X}=1$.

On peut donc écrire que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{E(x)}\,\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)=\lim_{X\to 0}\frac{\sin(X)}{X}=1$ par composition avec $\displaystyle X=\frac{E(x)}{x^2}$.

 

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}E(x)=+\infty$ d’après la question 2, alors $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\,$.

 

FIN