Enoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,,\,+\infty [$ par :

$$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{\ln(1+x)} \,\,\,\,\,&\text{Si}\,x>0\\ 1\,\qquad &\text{Si}\,x=0 \end{cases}$$

Soit $n$ un entier naturel.

On note $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par la relation de récurrence :

$u_{0}=e$ et $\forall\,n\in\mathbb{N}\,,\qquad u_{n+1}=f(u_{n})$

1. Déterminer le signe de $f$ sur l’intervalle $[0\,,\,+\infty [$.

2. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ existe et $u_{n}>0$.

3. Montrer que $f$ est continue sur $[0\,,\,+\infty [$.

4. Etablir que pour tout réel $x\geq e-1$ :

$f(x)\leq x$ et $(x+1)\ln(x+1)\geq x+1$

5. En déduire que pour tout réel $x\geq e-1$, $f'(x)\geq 0$.

6. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $e-1\leq u_{n}$.

7. Montrer que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge et déterminer la valeur de sa limite $\ell$.

FIN

Indications

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour les questions délicates ou particulièrement difficiles :)

Question 2 :

Il faudra procéder par récurrence.

Question 6 :

Il faudra procéder par récurrence et utiliser le fait que $f$ est croissante sur $[e-1\,,\,+\infty[$.

Question 7 :

Il faudra d’abord montrer que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante avant de conclure avec le théorème de la convergence monotone.

Pour montrer que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante, on pensera à utiliser l’inégalité établie à la question 4 : $\forall x\geq e-1\,$, $f(x)\leq x$.

Corrigé

$f$ est la fonction définie sur $[0\,,\,+\infty [$ par :

$$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{\ln(1+x)} \,\,\,\,\,&\text{Si}\,x>0\\ 1\,\qquad &\text{Si}\,x=0 \end{cases}$$

Et $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est la suite définie par :

$u_{0}=e$ et $\forall\,n\in\mathbb{N}\,,\qquad u_{n+1}=f(u_{n})$

1. Étude du signe de $f$ :

Il s’agit de déterminer le signe de $f$ sur l’intervalle $[0\,,\,+\infty [$.

Si $x>0$ alors $1+x>1$.

Puisque la fonction $\ln$ est croissante sur $]0\,,\,+\infty [$, alors $\ln(1+x)>\ln(1)=0$.

Par quotient, $f(x)>0$.

Si $x=0$, $f(0)=1>0$.

Pour tout réel $x$ dans l’intervalle $[0\,,\,+\infty [$, $f(x)>0$

2. $u_{n}$ existe et $u_{n}$ est strictement positif.

Pour que $u_{n}$ existe, il faut et il suffit que $\ln(1+u_{n})$ soit définie et ne s’annule pas. Il faut donc avoir :

$\forall n\in\mathbb{N}$, $\begin{cases}1+u_{n}>0\\\text{et}\\1+u_{n}\neq 1\end{cases}$

C’est à dire,

$\forall n\in\mathbb{N}$, $\begin{cases}u_{n}>-1\\\text{et}\\u_{n}\neq 0\end{cases}$

Montrons par récurrence sur $n$ que $u_{n}$ existe et que $u_{n}>0$.

Pour $n\in\mathbb{N}$, on note $\mathcal{P}_{n}$ la propriété :

$\forall n\in\mathbb{N}\,,\,\, u_{n}$ existe et que $u_{n}>0$

Initialisation :

On a $u_{0}=e>0$. La propriété est donc vraie au premier rang.

Hérédité :

Fixons $n$ dans $\mathbb{N}$ telle que $\mathcal{P}_{n}$ soit vraie.

On a donc, $\forall n\in\mathbb{N}\,,\,\, u_{n}$ existe et que $u_{n}>0$.

Alors $u_{n}\in ]0\,,\,+\infty[$, et $u_{n+1}=f(u_{n})$ existe. De plus, comme $f$ est strictement positive pour tout réel $x$ dans $[0\,,\,+\infty[$ alors $u_{n+1}>0$.

C’est exactement $\mathcal{P}_{n+1}$.

La propriété $\mathcal{P}_{n}$ est donc héréditaire. Elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ existe et $u_{n}>0$.

3. Montrer que $f$ est continue sur $[0\,,\,+\infty [$ :

Pour $x>0$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\ln(1+x)}$.

La fonction $x\mapsto x$ est continue sur $]0\,,\,+\infty [$.

La fonction $x\mapsto\ln(1+x)$ est la composée de $x\mapsto 1+x$ par $x\mapsto\ln(x)$. Or la fonction $x\mapsto\ln(x)$ est continue sur $]0\,,\,+\infty [$ et la fonction $x\mapsto 1+x$ est continue sur $]0\,,\,+\infty [$ et à valeurs strictement positives sur $]0\,,\,+\infty [$, donc par composition $x\mapsto\ln(1+x)$ est continue sur $]0\,,\,+\infty [$.

Et par quotient, $f$ est continue sur $]0\,,\,+\infty [$.

 

Continuité en zéro :

$f$ est continue en $0$ si et seulement si, $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)$.

On a,

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}f(x)&=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\ln(1+x)}\\&=\lim_{x\to 0}\bigg(\frac{1}{\frac{\ln(1+x)}{x}}\bigg)\end{align}$$

On remarque que pour $x\neq 0$, $\displaystyle\frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{g(x)-g(0)}{x-0}\,$ où $g(x)=\ln(1+x)$.

Or $g$ est dérivable en $0$, donc le taux d’accroissement $\displaystyle\frac{g(x)-g(0)}{x-0}$ admet une limite finie en $0$ et on a $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=g'(0)=1$.

En fin de compte,

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}f(x)&=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\ln(1+x)}\\&=\lim_{x\to 0}\bigg(\frac{1}{\frac{\ln(1+x)}{x}}\bigg)\\&=\frac{1}{1}\\&=f(0)\end{align}$$

$f$ est donc continue en $0$.

 

$f$ est continue sur $]0\,,\,+\infty [$ et en $0$. $f$ est donc continue sur $[0\,,\,+\infty [$

4. Deux inégalités :

Il s’agit de montrer que pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $e-1$, on a :

$f(x)\leq x$ et $(x+1)\ln(1+x)\geq x+1$

Commençons par la première inégalité :

On a $x\geq e-1$, donc $x+1\geq e$ et $\ln(1+x)\geq\ln(e)=1$ car la fonction $\ln$ est croissante, et $\displaystyle\frac{1}{\ln(1+x)}\leq 1$ car la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$.

En multipliant les deux côtés de l’inégalité par $x$ qui est positif, on obtient $\displaystyle\frac{x}{\ln(1+x)}\leq x\,$, soit $f(x)\leq x$.

Pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $e-1$, $f(x)\leq x$.

Remarque :

La méthode qui consiste étudier le signe de la fonction $\Delta$ définie sur $[e-1\,,\,+\infty[$ par $\Delta(x)=f(x)-x$ fonctionne également ici. Elle est cependant plus longue.

L’inégalité proposée s’écrit :

$$\forall x\geq e-1\,,\qquad\Delta(x) \leq 0$$

On a : $\forall x\geq e-1\,$, $\Delta(x)=\displaystyle\frac{x(1-\ln(1+x))}{\ln(1+x)}$.

Cherchons le signe du numérateur et du dénominateur :

On a $x\geq e-1$, donc $x+1\geq e$ et $\ln(1+x)\geq\ln(e)=1$ car la fonction $\ln$ est croissante.

On en déduit que :

  • Le numérateur $x(1-\ln(1+x))$ est négatif.
  • Le dénominateur $\ln(1+x)$ est positif.

Par quotient, $\forall x\geq e-1\,$, $\Delta(x)=\displaystyle\frac{x(1-\ln(1+x))}{\ln(1+x)}\leq 0$. D’où la question.

 

Démontrons ensuite la deuxième inégalité :

On raisonne de façon identique à l’inégalité précédente. On a $x\geq e-1$ donc $x+1\geq e$ et $\ln(1+x)\geq 1$.

En multipliant les deux côtés de l’inégalité par $x+1$ qui est positif, on retrouve l’inégalité demandée.

Pour tout réel $x\geq e-1$, $(x+1)\ln(1+x)\geq x+1$

5. Signe de la dérivée de $f$ :

Il s’agit de montrer que pour tout réel $x\geq e-1$, $f'(x)\geq 0$.

Sur $]e-1\,,\,+\infty [$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\ln(1+x)}$.

La fonction $x\mapsto x$ est dérivable sur $]e-1\,,\,+\infty [$.

La fonction $x\mapsto\ln(1+x)$ est la composée de $x\mapsto 1+x$ par $x\mapsto\ln(x)$. Or la fonction $x\mapsto\ln(x)$ est dérivable sur $]e-1\,,\,+\infty [$ et la fonction $x\mapsto 1+x$ est dérivable sur $]e-1\,,\,+\infty [$ et à valeurs strictement positives sur $]e-1\,,\,+\infty [$, donc par composition $x\mapsto\ln(1+x)$ est dérivable sur $]e-1\,,\,+\infty [$.

Et par quotient, $f$ est dérivable sur $]e-1\,,\,+\infty [$ et on a :

$$\forall x>e-1\,,\qquad f'(x)=\frac{(1+x)\ln(1+x)-x}{(1+x)\big(\ln(1+x)\big)^{2}}$$

Le dénominateur $(1+x)\big(\ln(1+x)\big)^{2}$ est strictement positif pour tout réel $x\geq e-1$, et on vient de démontrer que pour tout réel $x\geq e-1$, $\displaystyle (x+1)\ln(1+x)\geq x+1$, c’est à dire que $\displaystyle\underbrace{(x+1)\ln(1+x)-x}_{\text{Numérateur de }f’}\geq 1$.

Donc le numérateur de $f’$ est positif pour tout réel $x\geq e-1$.

Par quotient, $f'(x)\geq 0$ pour tout réel $x\geq e-1$.

6. Minoration de $u_{n}$ :

Il s’agit de montrer que pour tout entier naturel $n$, $e-1\leq u_{n}$.

On procède par récurrence sur $n$.

Pour $n$ dans $\mathbb{N}$, on note $\mathcal{P}_{n}$ la propriété :

$$\forall n\in\mathbb{N}\,,\qquad e-1\leq u_{n}$$

Initialisation :

La vérification de $\mathcal{P}_{0}$ est immédiate.

$$u_{0}=e\geq e-1$$

La propriété est donc vraie au premier rang.

 

Hérédité :

Fixons $n$ dans $\mathbb{N}$ telle que $\mathcal{P}_{n}$ soit vraie. On a donc :

$$\forall n\in\mathbb{N}\,,\qquad e-1\leq u_{n}$$

Alors, $f(e-1)\leq f(u_{n})$ car $f$ est croissante sur $[e-1\,,\,+\infty[$ ($f'(x)\geq 0$ sur $[e-1\,,\,+\infty[$ d’après la question précédente).

Comme $\displaystyle f(e-1)=\frac{e-1}{\ln(1+e-1)}=e-1$ et $f(u_{n})=u_{n+1}$, alors,

$$\forall n\in\mathbb{N}\,,\qquad e-1\leq u_{n+1}$$

C’est exactement $\mathcal{P}_{n+1}$.

La propriété $\mathcal{P}_{n}$ est donc héréditaire. Elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

$\forall n\in\mathbb{N}$, la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est minorée et on a $e-1\leq u_{n}$.

7. Convergence et limite de la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ :

On vient de démontrer que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est minorée par $e-1$. Il reste à démontrer qu’elle est décroissante puis conclure à l’aide du théorème de la convergence monotone.

La suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante :

Soit $n$ un entier naturel.

On a $u_{n}\geq e-1$ d’une part, et d’autre part, on a démontré à la question 5 que pour tout réel $x\geq e-1$, $f(x)\leq x$ donc $f(u_{n})\leq u_{n}$, c’est à dire $u_{n+1}\leq u_{n}$.

La suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est donc décroissante.

Convergence de la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ :

La suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante, minorée (par $e-1$). D’après le théorème de la convergence monotone elle converge vers une limite que l’on note $\ell$.

Déterminons la valeur de $\ell$ :

On utilise le théorème suivant (Image d’une suite par une fonction) :

Soit $f$ une fonction continue. Si $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite convergente telle que $u_{n+1}=f(u_{n})$, alors la limite $\ell$ de la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est une solution de l’équation définie sur $\mathbb{R}$ par $\ell=f(\ell)$.

Ici, $f$ est continue sur $[e-1\,,\,+\infty [$. La suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell\geq e-1$ et $u_{n+1}=f(u_{n})$. Donc $\ell=f(\ell)$.

Résolvons cette équation :

$$\begin{align}f(\ell)=\ell&\Leftrightarrow\frac{\ell}{\ln(1+\ell)}=\ell\\&\Leftrightarrow\ln(1+\ell)=1\\&\Leftrightarrow1+\ell=e\\&\Leftrightarrow\ell=e-1\end{align}$$

La suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $e-1$.

FIN

Boîte noire

Cet onglet intitulé « Boîte noire » permet à l’auteur de rendre compte de sa démarche, d’expliquer ses motivations et de justifier ses choix rédactionnels et méthodologiques.

 

Cet exercice ne présente pas de grandes difficultés mis à part peut-être la dernière question pour démontrer que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.

C’est une méthode à retenir car il est très classique d’utiliser l’inégalité $f(x)\leq x$ (Resp. $f(x)\geq x$) pour montrer que la suite associée à $f$ est décroissante (Resp. croissante).

 

Théorème « Image d’une par une fonction continue » :

Le théorème énoncé à la réponse à la question 7 est le corollaire du théorème « Image d’une suite par une fonction continue ».

Soit $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite convergeant vers un réel $\ell$, et soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $\ell$, et continue en $\ell$.

La fonction $f$ étant continue en $\ell$, quel que soit le réel strictement positif $\epsilon$, il existe un réel strictement positif $\alpha$, tel que, si $|x-\ell|<\alpha$, alors $|f(x)-f(\ell)|<\epsilon$.

La suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$, convergeant vers $\ell$, pour tout réel strictement positif $\alpha$, il existe un entier $n_{0}$ tel que, si $n>n_{0}$, alors $|u_{n}-\ell|<\alpha$.

Il en résulte d’après ce qui précède, que $|f(u_{n})-f(\ell)|<\epsilon$.

La suite $(f(u_{n}))_{n\in\mathbb{N}}$ est donc convergente, et sa limite vaut $f(\ell)$.

Théorème :

Soit $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de limite $\ell$, et soit une fonction $f$, définie sur un intervalle ouvert contenant $\ell$, et continue en $\ell$.

La suite $(f(u_{n})$ est alors convergente, et converge vers $\ell$.

Conséquence directe de ce théorème :

Soit $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite définie par une relation de récurrence du type :

$$u_{n+1}=f(u_{n})$$

Où $f$ désigne une fonction continue.

Le théorème permet d’affirmer que, si la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers une limite $\ell$, alors cette limite $\ell$ satisfait à :

$$\ell=\lim_{n\to +\infty}u_{n}=\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}$$

$$\lim_{n\to +\infty}f(u_{n})=f(\ell)$$

Il en résulte que $\ell$ est nécessairement solution de l’équation définie sur $\mathbb{R}$ par $\ell=f(\ell)$. Une telle racine est appelée « point fixe » de la fonction $f$.

 

Corollaire de ce théorème :

Soit $f$ une fonction continue. Si $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite convergente telle que $u_{n+1}=f(u_{n})$, alors la limite $\ell$ de la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est une solution de l’équation définie sur $\mathbb{R}$ par : $\ell=f(\ell)$.

Remarques importantes :

  1. Si $f$ n’admet pas de point fixe, la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ associée ne converge pas.
  2. Si $f$ admet un point fixe, il n’en résulte pas que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge.
  3. Si l’équation $f'(\ell)=\ell$ possède plusieurs solutions, une seule de ces solutions peut être la limite de la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$.
  4. Pour conclure à la convergence de $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ vers $\ell$, il faut préalablement prouver que $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge.

Saïd BENLAADAM
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.
  1. Bonjour à tous,
    Il faut revoir la conclusion de la question n°4 : Il y a une faute de saisie (sup ou égale au lieu de inf ou égale).
    Merci !

Réagir à ce sujet :

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Vous pouvez utiliser les balises HTML ci-dessous :

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>