Suites, factorielle, inégalités, monotonie

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice

 

$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ par :

$$u_n=\frac{n^{n+1}}{2^{n}n!}$$

 

Question 1 :

Le raisonnement par récurrence ne fonctionne malheureusement pas ici ! En revanche, vous pouvez utiliser la formule du binôme de Newton.

 

Question 2 :

Pour montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante, il suffit de montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$,

$$u_{n+1}>u_n$$

Pour ce faire, vous pouvez par exemple commencer par montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$,

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$$

En justifiant naturellement que $u_n$ ne s’annule pas, et penser à utiliser le résultat de la question précédente pour conclure

 

Question 3 :

La clé de cette question consiste à utiliser la monotonie de la suite $(u_n)$ établie à la question précédente ainsi que le fait que toute suite croissante est supérieure ou égale à son premier terme ;-).

Bon travail !

$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ par :

$$u_n=\frac{n^{n+1}}{2^{n}n!}$$

 

1. Montrer que pour tout $n$ dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$, on a :

$${(1+\frac{1}{n})}^{n+1}>2$$

On pourrait penser à faire une démonstration par récurrence. C’est une initiative naturelle. Néanmoins la présence de la quantité ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ à l’intérieur de la parenthèse rend l’affaire compliquée voire impossible.

La façon dont est présentée la quantité ${\displaystyle {(1+\frac{1}{n})}^{n+1}}$ suggère d’utiliser la formule du binôme de Newton, que voici pour rappel :

Soient $x$ et $y$ deux réels, et $n$ un entier naturel non nul.

On a, ${\displaystyle (x+y{)}^n=\sum _{p=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})x^{n-p}{y}^p}$, où la quantité ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})}$ désigne les coefficients binomiaux.

On appelle coefficients binomiaux l’ensemble des nombres : ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})=\frac{n!}{p!(n-p)!}}$, avec $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls tel que $p\le n$.

 

Ainsi, en appliquant la formule du binôme de Newton, on a :

$$\begin{array}{rl}{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}& =\sum _{p=0}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{p})1^{n-p}{\left(\frac{1}{n}\right)}^p\\ \\ & =\sum _{p=0}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{p}){\left(\frac{1}{n}\right)}^p\\ \\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{0}){\left(\frac{1}{n}\right)}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{1})\left(\frac{1}{n}\right)+\sum _{p=2}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{p}){\left(\frac{1}{n}\right)}^p\end{array}$$

Or,

$$\begin{array}{rl}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{0})& =\frac{(n+1)!}{0!(n+1)!}\\ & =1\end{array}$$

Et,

$$\begin{array}{rl}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{1})& =\frac{(n+1)!}{1!n!}\\ & =\frac{n!\times (n+1)}{n!}\\ & =n+1\end{array}$$

D’où,

$$\begin{array}{rl}{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}& =1+\frac{n+1}{n}+\sum _{p=2}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{p}){\left(\frac{1}{n}\right)}^p\\ \\ & =2+\frac{1}{n}+\sum _{p=2}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{p}){\left(\frac{1}{n}\right)}^p\end{array}$$

Puisque ${\displaystyle \sum _{p=2}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{p}){\left(\frac{1}{n}\right)}^p}$ est strictement positive, alors on en déduit que,

$${(1+\frac{1}{n})}^{n+1}>2+\frac{1}{n}$$

Et par suite,

$${(1+\frac{1}{n})}^{n+1}>2$$

 

Finalement, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : ${\displaystyle {(1+\frac{1}{n})}^{n+1}>2}$.

 

2. En déduire que la suite $(u_n)$ est strictement croissante :

La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ par :

$$u_n=\frac{n^{n+1}}{2^{n}n!}$$

Pour montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante, il suffit de montrer que $u_{n+1}>u_n$.

Pour ce faire, je propose de commencer par montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}<1}$ puis en déduire que $u_{n+1}>u_n$.

De part sa construction, la suite $(u_n)$ est strictement positive et on a pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$,

$$\begin{array}{rl}\frac{u_{n+1}}{u_n}& =\frac{(n+1{)}^{n+2}}{2^{n+1}(n+1)!}\times \frac{2^{n}n!}{n^{n+1}}\\ & =\frac{(n+1)\times (n+1{)}^{n+1}\times 2^n\times n!}{2\times 2^n\times (n+1)!\times n^{n+1}}\\ & =\frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^{n+1}}\times \frac{(n+1)\times n!}{(n+1)!}\times \frac{2^n}{2\times 2^n}\\ & ={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n+1}\times \frac{(n+1)!}{(n+1)!}\times \frac{1}{2}\\ & =\frac{1}{2}\times {(1+\frac{1}{n})}^{n+1}\end{array}$$

 

Or d’après le résultat établi à la question précédente, on a pour tout entier naturel $n$ non nul :

$${(1+\frac{1}{n})}^{n+1}>2$$

On en déduit que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$,

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$$

Autrement dit,

$$\mathrm{\forall }n\ge 2,u_{n+1}>u_n$$

Finalement, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

 

3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a :

$$2^{n}n!\le n^{n+1}$$

Puisque la suite $(u_n)$ est strictement croissante, alors pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, $u_n$ est supérieure ou égale à son premier terme $u_2$, c’est à dire,

$$u_n\ge u_2$$

Puisque,

$$\begin{array}{rl}{u}_2& =\frac{2^3}{2^2\times 2!}\\ & =1\end{array}$$

Alors pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a,

$$\frac{n^{n+1}}{2^n\times n!}\ge 1$$

Et par suite, ${\displaystyle n^{n+1}\ge 2^n\times n!}$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$.

 

FIN