$n$ est un entier naturel non nul. L’objet de cet exercice est l’étude des racines de l’équation : $$(E_n)\,:\quad\ln(x)+x=n$$ À cet effet, on introduit la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $$f(x)=\ln(x)+x$$ Existence des racines de $(E_n)$ : 1. Etudier les variations de la fonction $f$. 2. Montrer que […]

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On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ par : $$u_n=\frac{n^{n+1}}{2^n\,n!}$$   1. Montrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a : $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>2$$   2. En déduire que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. 3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, […]

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