$n$ est un entier naturel et $x$ un réel supérieur ou égal à zéro. On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$ supérieur ou égal à zéro par :   $\displaystyle u_n(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}$ et $\displaystyle v_n(x)=u_n(x)+\frac{x^n}{n!}$   PARTIE I 1. Donner les valeurs de […]

Lire la suite →

$n$ est un entier naturel non nul. L’objet de cet exercice est l’étude des racines de l’équation : $$(E_n)\,:\quad\ln(x)+x=n$$ À cet effet, on introduit la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $$f(x)=\ln(x)+x$$ Existence des racines de $(E_n)$ : 1. Etudier les variations de la fonction $f$. 2. Montrer que […]

Lire la suite →

Soit $a$ un réel strictement positif différent de $1$. Et soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par :   $$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$$   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$u_n>\sqrt{a}$$   2. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. […]

Lire la suite →

On considère la suite $\displaystyle (u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ différent de zéro par : $$u_n=\frac{2^n}{n!}$$ 1. Montrer que la suite $\displaystyle (u_n)$ est décroissante. 2. En déduire que $\displaystyle (u_n)$ est convergente. 3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a : $$2\times 3^{n-2}\leq n!$$ 4. En […]

Lire la suite →

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ par : $$u_n=\frac{n^{n+1}}{2^n\,n!}$$   1. Montrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a : $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>2$$   2. En déduire que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. 3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, […]

Lire la suite →

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\neq b$ et $f$ l’application de $\displaystyle [a\,;\,b]$ dans $\displaystyle [a\,;\,b]$ définie par :   $$\begin{cases}f\left([a\,;\,b]\subset [a\,;\,b]\right)\\\\\forall (x\,;\,y)\in [a\,;\,b]\times [a\,;\,b]\,,\quad|f(x)-f(y)|<|x-y|\end{cases}$$   1. Montrer que $f$ est continue sur $\displaystyle [a\,;\,b]$. 2. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ de $\displaystyle [a\,;\,b]$ par : $$g(x)=f(x)-x$$ 2.1 […]

Lire la suite →

Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs, et $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0\,,\,+\infty[$ par :   $$\begin{cases}f(xy)=f(x)+f(y)\\\\f \text{ est continue au point } x_0=1\end{cases}$$   1. Calculer $f(1)$. 2. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. 2.1 Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f(x)=f\left(\frac{x}{\alpha}\right)+f(\alpha)$$ 2.2 Calculer la limite […]

Lire la suite →

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=x^{n+1}-2x^n+1$$   1. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $\displaystyle\left[0\,;\,\frac{2n}{n+1}\right]$. 2. En déduire que $f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<0$. 3. Montrer qu’il existe un réel $\alpha$ dans l’intervalle $\displaystyle\left[\frac{2n}{n+1}\,;\,2\right]$ tel que $f(\alpha)=0$.   FIN Vous trouverez dans cet onglet […]

Lire la suite →

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$ par : $$f(x)=x^2\,\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$   1. Vérifier que $f$ est bien définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$. 2. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}E(x)=+\infty$. 3. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{E(x)}{x^2}=0$. 4. En déduire la valeur de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$.   FIN Vous trouverez dans cet onglet des indications […]

Lire la suite →

Soit $f$ une fonction définie et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$   1. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Montrer que : $$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$   2. En déduire que si $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$, alors $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.   FIN Vous trouverez dans cet onglet […]

Lire la suite →