Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\begin{cases}x\,\arctan\left(\frac{1}{x}\right) \,\,\,\,\,&\text{Si}\,x\neq 0\\ 0\,\qquad &\text{Si}\,x=0 \end{cases}$$ On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.   1. $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? 2. $f$ est-elle dérivable sur $\mathbb{R}$ ? 3. Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ 4. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a […]

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Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $$f(x)=\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$$   1. Sans étudier les variations de la fonction $f$, montrer que pour tout réel $x$, on a l’encadrement suivant : $$0<f(x)<\frac{\pi}{2}$$   2. Montrer que pour tout réel $x$, on a : $$1-\tan^2(f(x))=2x\tan(f(x))$$   3. En déduire que pour tout réel $x$ […]

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