Enoncé

À travers cette série d’exercices sur le calcul de limites, j’essaie de proposer un panorama des différentes formes indéterminées auxquelles vous serez confrontées en classe de terminale, et de vous donner les différentes techniques à maîtriser pour lever ces indéterminations : Expression conjuguée pour les limites faisant intervenir des sommes de racines carrées, le taux d’accroissement ou encore le changement de variables.

Le corrigé est volontairement détaillé. Je n’hésite pas à m’attarder sur les limites des fonctions composées, la justification de la dérivabilité, les rappels des domaines de définition, …

Il arrivera naturellement d’alléger la rédaction, mais il faudra garder à l’esprit qu’il est très important (le mot juste serait ‘nécessaire‘) de s’interroger sur chaque opération, chaque passage, la façon dont est construite la limite à calculer, la fonction à dériver, sur son type, son domaine de définition, sa dérivabilité, … puisque, de cette analyse, découlent les formules à utiliser, le raisonnement à suivre, la méthode à adopter, …

Bon travail ;-)


Calculer les limites suivantes, lorsqu’elles existent :

 

1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2+2|x|}{x}$


2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$


3. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$


4. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}$


5. $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\frac{\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{x-1}$


6. $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x^2-\sqrt{x^4+1}}$


7. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}}{x}$


8. $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)$


9. $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)$


10. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^2\left(1-\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)$

 

FIN

Corrigé

— CALCUL DE LA LIMITE N°1 —

 

Il s’agit de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2+2|x|}{x}$

 

La présence de la valeur absolue au numérateur nous pousse à distinguer deux cas selon que $x$ tende vers $0$ par la droite ou par la gauche.

Ainsi, pour tout réel $x\neq 0$, l’expression $\displaystyle\frac{x^2+2|x|}{x}\;$ vaut :

$$\begin{cases}\frac{x^2+2x}{x}\qquad\text{si }x>0\\\frac{x^2-2x}{x}\qquad\text{si }x<0\end{cases}$$

Soit en divisant numérateur et dénominateur par $x$ qui est différent de $0$,

$$\begin{cases}x+2\qquad\text{si }x>0\\x-2\qquad\text{si }x<0\end{cases}$$

D’où,

$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\frac{x^2+2|x|}{x}=\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}(x+2)=2$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}\frac{x^2+2|x|}{x}=\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}(x-2)=-2$.

La fonction $\displaystyle x\mapsto\frac{x^2+2|x|}{x}$ n’admet donc pas de limite en $0$ car sa limite à droite de $0$ est différente de sa limite à gauche de $0$.

 

— CALCUL DE LA LIMITE N°2 —

 

Il s’agit de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$

 

La fonction $\displaystyle x\mapsto\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^*$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\sqrt{1+x^2}-1\right)=0$, donc le calcul direct de la limite demandée mène à une forme indéterminée. Je vous propose deux méthodes pour lever cette indéterminations.

 

1/ Multiplication par l’expression conjuguée : Fonctionne généralement pour le calcul de limites faisant intervenir des racines carrées.

2/ Utilisation du taux d’accroissement (ou du nombre dérivé) : Utile et efficace pour le calcul des limites du type $\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ où $f$ une fonction dérivable sur l’intervalle considéré et $a$ un réel de ce même intervalle.

Ici, en posant $f(x)=\sqrt{1+x^2}$, on a $f(0)=1$ donc la limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$ s’écrit : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$.

On reconnaît alors le taux d’accroissement de $f$ en $0$.

Il reste à mettre tout ça en forme :-)

 

MÉTHODE N°1 : MULTIPLICATION PAR L’EXPRESSION CONJUGUÉE 

Pour tout réel $x\neq 0$, on a :

$$\begin{align}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}&=\frac{\left(\sqrt{1+x^2}-1\right)\left(\sqrt{1+x^2}+1\right)}{x\left(\sqrt{1+x^2}+1\right)}\\&=\frac{x^2}{x\left(\sqrt{1+x^2}+1\right)}\\&=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}+1}\quad\text{car }x\neq 0\end{align}$$

Comme $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}+1}=0\,$, alors la limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$ existe et vaut $0$.

 

MÉTHODE N°2 : TAUX D’ACCROISSEMENT

Pour tout réel $x\neq 0$, on a $\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\;$ où $f(x)=\sqrt{1+x^2}$.

$f$ est la composée de $x\mapsto 1+x^2$ par $x\mapsto\sqrt{x}$, or cette dernière est dérivable sur $]0\,,\,+\infty[$ et $x\mapsto 1+x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ à valeurs strictement positives sur $\mathbb{R}$, donc par composition $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et a fortiori en $0$; Le taux d’accroissement $\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ admet une limite finie en $0$ et on a :

$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)$$

EXPRESSION de $f^{\prime}(x)$ :

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, on a : $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$, d’où $f^{\prime}(0)=0$.

Finalement, la limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$ existe et sa valeur est égale $0$.

 

— CALCUL DE LA LIMITE N°3 —

 

Il s’agit de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$

La fonction $\displaystyle x\mapsto\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ est définie sur $[-1\,,\,0[\,\cup\,]0\,,\,1]$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)=0$. Le calcul direct de la limite demandée mène donc à une forme indéterminée.

Pour lever cette indétermination, il faudra procéder exactement comme pour la limite précédente.
(Voir les explications ci-dessus si vous souhaitez calculer cette limite sans avoir préalablement calculé la limite N°2).

MÉTHODE N°1 : MULTIPLICATION PAR L’EXPRESSION CONJUGUÉE

Pour tout réel $x$ dans $[-1\,,\,0[\,\cup\,]0\,,\,1]$, on a :

$$\begin{align}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}&=\frac{\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}{x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}\\&=\frac{2x}{x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}\\&=\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\quad\text{car }x\neq 0\end{align}$$

D’où, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}=\frac{2}{2}=1$.

La limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ existe et sa valeur est égale à $1$.

 

MÉTHODE N°2 : TAUX D’ACCROISSEMENT

Pour tout réel $x$ dans $[-1\,,\,0[\,\cup\,]0\,,\,1]$, on a $\displaystyle\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ où $f(x)=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$.

La fonction $\displaystyle x\mapsto\sqrt{1+x}$ est la composée de $x\mapsto 1+x$ par $x\mapsto\sqrt{x}$, or cette dernière est dérivable sur $]0\,,\,+\infty[$ et $x\mapsto 1+x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ à valeurs strictement positives sur $]-1\,,\,+\infty[$. Donc par composition, la fonction $\displaystyle x\mapsto\sqrt{1+x}$ est dérivable sur $]-1\,,\,+\infty[$.

De la même manière, on démontre que la fonction $\displaystyle x\mapsto\sqrt{1-x}$ est dérivable sur $]-\infty\,,\,1[$.

Puis par somme, $f$ est dérivable sur $]-1\,,\,1[$ et a fortiori en $0$, donc le taux d’accroissement $\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ admet une limite finie en $0$ et on a :

$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)$$

 

EXPRESSION DE $f^{\prime}(x)$ :

$f$ est dérivable sur $]-1\,,\,1[$ et pour tout réel $x$ dans $]-1\,,\,1[$, on a :

$$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}+\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$$

D’où $f^{\prime}(0)=1$ et LA LIMITE $\displaystyle\lim8{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ et sa valeur est égale à $1$.

 

— CALCUL DE LA LIMITE N°4 —

 

Il s’agit de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}$

La fonction $\displaystyle x\mapsto\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}$ est définie sur l’intervalle $]-8\,,\,0[\,\cup\,]0\,,\,+\infty[$.

 

On a $\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt[3]{x+8}-2=\sqrt[3]{8}-2=2-2=0$, donc si vous essayez de calculer cette limite directement, vous aurez une forme indéterminée.

La méthode du taux d’accroissement fonctionne ici et permet de lever l’indétermination. La méthode du changement de variable aussi.

 

MÉTHODE N°1 : TAUX D’ACCROISSEMENT

Pour tout réel $x$ dans $]-8\,,\,0[\,\cup\,]0\,,\,+\infty[$, on a :

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ où $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x+8}$

$f$ est la composée de $x\mapsto x+8$ par $x\mapsto\sqrt[3]{x}$, or cette dernière est dérivable sur $]0\,,\,+\infty[$ et $x\mapsto x+8$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ à valeur strictement positive dans $]-8\,,\,+\infty[$. Donc par composition, $f$ est dérivable sur $]-8\,,\,+\infty[$ et a fortiori en $0$. Le taux d’accroissement $\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ admet une limite finie en $0$ et on a :

$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)$$

 

EXPRESSION DE $f^{\prime}(x)$ :

$f$ est dérivable sur $]-8\,,\,+\infty[$ et pour tout réel $x$ dans $]-8\,,\,+\infty[$, on a :

$$f^{\prime}(x)=\frac{1}{3(x+8)^{\frac{2}{3}}}$$

D’où,

$$\begin{align}f^{\prime}(0)&=\frac{1}{3(8)^{\frac{2}{3}}}\\&=\frac{1}{3}\times\frac{1}{8^{1-\frac{1}{3}}}\\&=\frac{1}{3}\times\frac{1}{8\times 8^{-\frac{1}{3}}}\\&=\frac{1}{3}\times\frac{1}{8}\times 8^{\frac{1}{3}}\\&=\frac{1}{24}\times\sqrt[3]{8}\\&=\frac{1}{24}\times 2\\&=\frac{1}{12}\end{align}$$

Finalement, la limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}$ existe et sa valeur est $\frac{1}{12}$.

 

MÉTHODE N°2 : CHANGEMENT DE VARIABLE

Soit $x$ un réel de l’intervalle $]-8\,,\,+\infty[$.

En posant $\displaystyle y=\sqrt[3]{x+8}$, on a $y^3=x+8$ ou encore $x=y^3-8$.

Ainsi, lorsque $x$ tend vers $0$, $y$ tend vers $2$.

 

Ce choix n’est pas un hasard car il permet d’aboutir à une identité remarquable au dénominateur et à simplifier le numérateur ;-)

 

Pour tout réel $x$ dans $]-8\,,\,0[\,\cup\,]0\,,\,+\infty[$, on a :

$$\begin{align}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}&=\frac{y-2}{y^3-8}\\&=\frac{y-2}{(y-2)(y^2+2y+4)}\\&=\frac{1}{y^2+2y+4}\end{align}$$

D’où,

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}=\lim_{y\to 2}\frac{1}{y^2+2y+4}$$

Puisque la fonction $\displaystyle\frac{1}{y^2+2y+4}$ est continue en $2$, alors la limite $\displaystyle\lim_{y\to 2}\frac{1}{y^2+2y+4}$ existe et sa valeur est $\frac{1}{2^2+2\times 2+4}$, soit $\frac{1}{12}$.

 

— CALCUL DE LA LIMITE N°5 —

 

Il s’agit de la limite : $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\frac{\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{x-1}$

 

La fonction $\displaystyle\frac{\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{x-1}$ est définie sur $[-1\,,\,1[$.

 

D’une part la fonction $\displaystyle x\mapsto\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)$ est la composée de $x\mapsto\sqrt{1-x^2}$ et de $X\mapsto\arctan(X)$ or $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\sqrt{1-x^2}=0^+$ et $\displaystyle\lim_{X\to 0^+}\arctan(X)=0$, on peut donc écrire que $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)=\lim_{X\to 0^+}\arctan(X)=0$ par composition avec $X=\sqrt{1-x^2}$.

D’autre part $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}x-1=0$.

Le calcul direct de la limite demandée mène donc à une forme indéterminée. Pour lever cette indétermination, je propose de procéder ainsi :

Soit $x$ un réel de l’intervalle $[-1\,,\,1[$.

On a,

$$\frac{\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{x-1}=\frac{\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}\times\frac{\sqrt{1-x^2}}{x-1}$$

D’où par passage à la limite,

$$\begin{align}\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\frac{\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{x-1}&=\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\left(\frac{\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}\times\frac{\sqrt{1-x^2}}{x-1}\right)\\&=\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\frac{\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}\times\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x-1}\end{align}$$

 

CALCUL DE LA LIMITE : $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\frac{\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}$

Vous avez ici une expression du type $\displaystyle\frac{\arctan(u)}{u}$ où $u(x)=\displaystyle\sqrt{1-x^2}$.

Cette écriture suggère de procéder par changement de variable en posant $u=\sqrt{1-x^2}$.

Ainsi, lorsque $x$ tend vers $1$ par la gauche, $u$ tend vers $0$ par la droite, et on a :

$$\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\frac{\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}=\lim_{\substack{u\to 0\\u>0}}\frac{\arctan(u)}{u}=1$$

C’est en effet une limite connue et selon le contexte, vous pouvez soit donner le résultat directement soit le démontrer.

Voici une proposition de démonstration :

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\arctan(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ où $f(x)=\arctan(x)$. Or $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et a fortiori en $0$, donc le taux d’accroissement $\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ admet une limite en $0$ et on a :

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)=\frac{1}{1+0^2}=1$

 

CALCUL DE LA LIMITE : $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x-1}$

On a :

$$\begin{align}\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x-1}&=\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\frac{\sqrt{1-x^2}}{-(1-x)}\\&=\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\left(-\sqrt{\frac{1-x^2}{(1-x)^2}}\right)\\&=\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\left(-\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\end{align}$$

Puisque $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\frac{1+x}{1-x}=+\infty$ alors $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\lim_{X\to +\infty}\sqrt{X}=+\infty$ par composition avec $\displaystyle X=\frac{1+x}{1-x}$.

Par suite, on a $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\left(-\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)=-\infty$

 

Finalement par produit, la limite $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\frac{\arctan\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{x-1}$ existe et vaut $-\infty\,$.

 

— CALCUL DE LA LIMITE N°6 —

 

Il s’agit de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x^2-\sqrt{x^4+1}}$

La fonction $\displaystyle x\mapsto\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x^2-\sqrt{x^4+1}}$ est définie sur $\mathbb{R}$.

En effet, pour tout réel $x$, on a $x^4< x^4+1$, et $x^2<\sqrt{x^4+1}$. Le dénominateur ne s’annule donc jamais sur $\mathbb{R}$.

D’autre part, si vous essayez de calculer cette limite directement, vous aurez une double forme indéterminée à la fois au numérateur (« $\infty -\infty$ ») et au dénominateur (« $\infty -\infty$ »).

 

Je propose d’utiliser la méthode de l’expression conjuguée pour lever cette indétermination. Cette fois, il faudra multiplier numérateur et dénominateur par leur expression conjuguée respective.

 

Pour tout réel $x>0$ (on cherche la limite au voisinage de $+\infty$), on a :

$$\begin{align}\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x^2-\sqrt{x^4+1}}&=\frac{\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)\times\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{x+\sqrt{x^2+1}}\times\frac{x^2-\sqrt{x^4+1}}{\left(x^2-\sqrt{x^4+1}\right)\times\left(x^2+\sqrt{x^4+1}\right)}\\\\&=\frac{x^2+\sqrt{x^4+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}\end{align}$$

À ce stade, on a toujours une forme indéterminée et il faudra procéder par factorisation pour la lever.

Pour tout réel $x>0$, on a :

$$\begin{align}\frac{x^2+\sqrt{x^4+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}&=\frac{x^2+\sqrt{x^4\left(1+\frac{1}{x^4}\right)}}{x+\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}\\\\&=\frac{x^2+x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}{x+x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\\\&=x\times\frac{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\end{align}$$

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x^4}\right)=1$ et $\displaystyle\lim_{X\to 1}\sqrt{X}=1$, alors on peut écrire que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}=\lim_{X\to 1}\sqrt{X}=1$ par composition avec $X=1+\frac{1}{x^4}$.

De la même façon, on démontre que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=1$, puis par quotient,

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=1$ et enfin par produit, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\times\frac{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=+\infty$.

Finalement, la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x^2-\sqrt{x^4+1}}$ existe et vaut $+\infty$.

 

— CALCUL DE LA LIMITE N°7 —

 

Il s’agit de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}}{x}$

La fonction $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}}{x}$ est définie sur $]-1\,,\,0[\,\cup\,]0\,,\,+\infty[$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}\right)=0$. Le calcul direct de cette limite mène à une forme indéterminée.

Pour lever cette indétermination, vous pouvez procéder à l’aide du taux d’accroissement ou d’un changement de variable.

 

MÉTHODE N°1 : TAUX D’ACCROISSEMENT

Pour tout réel $x$ dans $]-1\,,\,0[\,\cup\,]0\,,\,+\infty[$, on a $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ où $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}$.

La fonction $\displaystyle\sqrt[3]{x+1}$ est la composée de $x\mapsto x+1$ et de $X\mapsto\sqrt[3]{X}$. Or cette dernière est dérivable sur $]0\,,\,+\infty[$ et $x\mapsto x+1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ à valeurs strictement positives sur $]-1\,,\,+\infty[, donc par composition, la fonction $\displaystyle\sqrt[3]{x+1}$ est dérivable sur $]-1\,,\,+\infty[$.

De la même façon, on justifie que la fonction $\displaystyle\sqrt[4]{x+1}$ est dérivable sur $]-1\,,\,+\infty[$, d’où par somme (ou par différence), $f$ est dérivable sur $]-1\,,\,+\infty[$ et a fortiori en $0$. Le taux d’accroissement $\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ admet donc une limite finie en $0$ et on a :

$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)$$

 

EXPRESSION DE $f^{\prime}(x)$ :

On a $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}=(x+1)^{\frac{1}{3}}-(x+1)^{\frac{1}{4}}$, avec $x$ dans $]-1\,,\,+\infty[$.

$f$ est dérivable sur $]-1\,,\,+\infty[$ et pour tout réel $x$ dans $]-1\,,\,+\infty[$, on a :

$$\begin{align}f^{\prime}(x)&=\frac{1}{3}(x+1)^\frac{-2}{3}-\frac{1}{4}(x+1)^\frac{-3}{4}\\&=\frac{1}{3\,(x+1)^\frac{2}{3}}-\frac{1}{4\,(x+1)^\frac{3}{4}}\end{align}$$

D’où $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$.

Finalement, la limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}}{x}$ existe et sa valeur est égale à $\displaystyle\frac{1}{12}$.

 

MÉTHODE N°2 : CHANGEMENT DE VARIABLE

Soit $x$ un réel de l’intervalle $]-1\,,\,0[\,\cup\,]0\,,\,+\infty[$.

On a,

$$\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}}{x}=\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}-\frac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}$$

Soit par passage à la limite,

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}-\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}$$

 

CALCUL DE LA LIMITE $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}$ :

En posant $\displaystyle t=\sqrt[3]{x+1}$, on a $t^3=x+1$ et $x=t^3-1$.

Ainsi, lorsque $x$ tend vers $0$, $t$ tend vers $1$.

D’où pour tout réel $x$ dans $]-1\,,\,0[\,\cup\,]0\,,\,+\infty[$,

$$\begin{align}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}&=\frac{t-1}{t^3-1}\\&=\frac{t-1}{(t-1)(t^2+t+1)}\\&=\frac{1}{t^2+t+1}\end{align}$$

Par passage à la limite,

$$\begin{align}\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}&=\lim_{t\to 1}\frac{1}{t^2+t+1}\\&=\frac{1}{3}\end{align}$$

 

CALCUL DE LA LIMITE $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}$ :

Il faudra procéder de la même façon que la limite précédente en posant cette fois $u=\sqrt[4]{x+1}$.

Il vient que $x=u^4-1$, et lorsque $x$ tend vers $0$, $u$ tend vers $1$.

Pour tout réel $x$ dans $]-1\,,\,0[\,\cup\,]0\,,\,+\infty[$,

$$\begin{align}\frac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}&=\frac{u-1}{u^4-1}\\&=\frac{u-1}{(u^2-1)(u^2+1)}\\&=\frac{1}{(u+1)(u^2+1)}\end{align}$$

Après division au numérateur et au dénominateur par $u-1$ ($u\neq 1$ car lorsque $x$ parcourt $]-1\,,\,0[\,\cup\,]0\,,\,+\infty[\,$, $u$ parcourt $]0\,,\,1[\,\cup\,]1\,,\,+\infty[$).

Soit par passage à la limite,

$$\begin{align}\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}&=\lim_{u\to 1}\frac{1}{(u+1)(u^2+1)}\\&=\frac{1}{4}\end{align}$$

 

Finalement, la limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}}{x}$ existe et sa valeur est égale à $\displaystyle\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$.

 

— CALCUL DE LA LIMITE N°8 —

 

Il s’agit de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)$

La fonction $\displaystyle x\mapsto\sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x+\sqrt{x}}$ est définie sur $\mathbb{R}_+$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\sqrt{x}+1}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x+\sqrt{x}}=+\infty$. Donc, le calcul direct de cette limite mène à une forme indéterminée du type « $+\infty -\infty$ ».

La multiplication par l’expression conjuguée fonctionne très bien ici et permet de lever l’indétermination. Cette méthode fonctionne généralement pour le calcul de limites faisant intervenir des racines carrées et doit être un réflexe (au moins l’essayer ;-)). Le fait de procéder par factorisation fonctionne aussi.

 

MÉTHODE N°1 : MULTIPLICATION PAR L’EXPRESSION CONJUGUÉE

On a pour tout réel $x$ non nul :

$$\begin{align}\sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x+\sqrt{x}}&=\frac{\left(\sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)\times\left(\sqrt{\sqrt{x}+1}+\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{\sqrt{x}+1}+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\\&=\frac{\sqrt{x}+1-x-\sqrt{x}}{\sqrt{\sqrt{x}+1}+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\\&=\frac{1-x}{\sqrt{\sqrt{x}+1}+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\\&=\frac{\sqrt{x}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}\right)}+\sqrt{x\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}}\end{align}$$

Soit après division par $\sqrt{x}$ ($x\neq 0$) au numérateur et au dénominateur,

$$\sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x+\sqrt{x}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}$$

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0\,$, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}-\sqrt{x}=-\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}=-\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}}=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}=1$.

Finalement, par quotient la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)$ existe et sa valeur est $-\infty$.

 

MÉTHODE N°2 : PAR FACTORISATION

On a pour tout réel $x$ non nul :

$$\begin{align}\sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x+\sqrt{x}}&=\sqrt{\sqrt{x}\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}-\sqrt{x\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}\\&=\sqrt{\sqrt{x}}\times\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\times\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}\\&=\sqrt{x}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\times\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}-\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}\right)\\&=\sqrt{x}\left(\frac{1}{\sqrt{\sqrt{x}}}\times\sqrt{1+\frac{1}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}\right)\end{align}$$

D’où par passage à la limite,

$$\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}\left(\frac{1}{\sqrt{\sqrt{x}}}\times\sqrt{1+\frac{1}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}\right)$$

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0\,$, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{\sqrt{x}}}=0$ alors par produit, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{\sqrt{x}}}\times\sqrt{1+\frac{1}{x}}=0$ puis par somme (ou différence), $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{\sqrt{x}}}\times\sqrt{1+\frac{1}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}\right)=-1$.

 

Finalement, par produit la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)$ existe et sa valeur est $-\infty$.

 

— CALCUL DE LA LIMITE N°9 —

 

Il s’agit de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)$

 

La fonction $\displaystyle\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}$ est définie sur $\mathbb{R}_+$.

 

On a $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$, donc le calcul direct de cette limite mène à une forme indéterminée du type « $+\infty -\infty$ ».

La méthode de multiplication par l’expression conjuguée permet de lever cette indétermination.

Pour tout réel $x\neq 0$, on a :

$$\begin{align}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}&=\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)\times\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}\\&=\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}\end{align}$$

À ce stade, on a toujours une forme indéterminée (cette fois du type « $\displaystyle\frac{+\infty}{+\infty}$ »). On procède par factorisation sous la racine carrée pour la lever.

Ainsi, pour tout réel $x\neq 0$, on a :

$$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}}{\sqrt{x\left(1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}\right)}{+\sqrt{x}}}$$

Soit après division au numérateur et au dénominateur par $\sqrt{x}$ qui est différent de $0$,

$$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}=\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}+1}$$

Puis par passage à la limite,

$$\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}+1}$$

Or, on a d’une part, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}=1$ et d’autre part, pour tout réel $x\neq 0$,

$$\begin{align}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}&=\sqrt{\frac{x+\sqrt{x}}{x^2}}\\&=\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x\sqrt{x}}}\end{align}$$

D’où,

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x\sqrt{x}}}=0$$

Et par suite,

$$\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}+1\right)=2$$

Finalement, par quotient, la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)$ existe et sa valeur est $\frac{1}{2}$.

 

— CALCUL DE LA LIMITE N°10 —

 

Il s’agit de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^2\left(1-\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)$

La fonction $\displaystyle x\mapsto\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ est la composée de $x\mapsto\frac{1}{x}$ et de $X\mapsto\cos(X)$, or $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0$ et $\displaystyle\lim_{X\to 0}\cos(X)=1$, on peut donc écrire que $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)=\lim_{X\to 0}\cos(X)=1$ par composition avec $\displaystyle X=\frac{1}{x}$.

On en déduit que $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(1-\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)=0$.

Comme $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x=-\infty$, alors le calcul direct de cette limite mène à une forme indéterminée du type « $-\infty\times 0$ ».

Pour lever cette indétermination, je propose de procéder par changement de variable en posant $\displaystyle u=\frac{1}{x}$ pour $x\neq 0$.

Ainsi, lorsque $x$ tend vers $-\infty$, $u$ tend $0^-$ et on a :

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^2\left(1-\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\displaystyle\lim_{u\to o^-}\frac{1-\cos(u)}{u^2}$

Cette limite est connue et sa valeur est $\displaystyle\frac{1}{2}$. Suivant le contexte, vous pouvez soit donner directement le résultat, soit le démontrer.

Voici une proposition de démonstration :

Pour $u\neq 0$, on a :

$$\begin{align}\frac{1-\cos(u)}{u^2}&=\frac{1+\cos(u)}{1+\cos(u)}\times\frac{1-\cos(u)}{u^2}\\&=\frac{1}{1+\cos(u)}\times\frac{1-\cos^2(u)}{u^2}\\&=\frac{1}{1+\cos(u)}\times\left(\frac{\sin(u)}{u}\right)^2\end{align}$$

D’où par passage à la limite,

$$\lim_{u\to o}\frac{1-\cos(u)}{u^2}=\lim_{u\to o}\left(\frac{1}{1+\cos(u)}\times\left(\frac{\sin(u)}{u}\right)^2\right)=\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}$$

Finalement, la limite $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^2\left(1-\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)$ existe et sa valeur vaut $\frac{1}{2}$.

 

Un autre méthode plus conventionnelle, consiste à utiliser l’une des relations entre $\sin$ et $\cos$.

Pour $u\neq 0$, on a :

$$\begin{align}\frac{1-\cos(u)}{u^2}=\frac{1-\cos\left(\frac{2u}{2}\right)}{u^2}\end{align}$$

Or, pour tout réel $x$ on a : $\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$.

On en déduit que :

$$\begin{align}\frac{1-\cos(u)}{u^2}&=\frac{1-\left(1-2\sin^2\left(\frac{u}{2}\right)\right)}{u^2}\\\\&=\frac{2\sin^2\left(\frac{u}{2}\right)}{u^2}\\\\&=\frac{1}{2}\times\frac{\sin^2\left(\frac{u}{2}\right)}{\left(\frac{u}{2}\right)^2}\\\\&=\frac{1}{2}\times\left(\frac{\sin\left(\frac{u}{2}\right)}{\frac{u}{2}}\right)^2\end{align}$$

D’où par passage à la limite,

$$\begin{align}\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos(u)}{u^2}&=\frac{1}{2}\lim_{u\to 0}\left(\frac{\sin\left(\frac{u}{2}\right)}{\frac{u}{2}}\right)^2\\&=\frac{1}{2}\lim_{y\to 0}\left(\frac{\sin(y)}{y}\right)^2\\&=\frac{1}{2}\end{align}$$

 

FIN

Saïd BENLAADAM
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.

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