Autour des parties entières

[CHOUKRI]

Montrer que pour tout nombre réel $x$ et pour tout entier naturel non nul $n$, on a l’égalité $$\lfloor {\displaystyle \frac{\lfloor nx\rfloor }{n}}\rfloor =\lfloor x\rfloor$$
où $\lfloor t\rfloor$ désigne la partie entière du nombre réel $t$.

 

[XXXXX XXXXX]

On a $n\times \lfloor x\rfloor \le \lfloor nx\rfloor \le nx$

Donc $\lfloor x\rfloor \le \frac{\lfloor nx\rfloor }{n}\le x$

D’où $\lfloor {\displaystyle \frac{\lfloor nx\rfloor }{n}}\rfloor =\lfloor x\rfloor$</span>

 

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[CHOUKRI]

Pourquoi on a $n\lfloor x\rfloor \le \lfloor nx\rfloor$ ?

[CHOUKRI]

L’inégalité $n\lfloor x\rfloor \le \lfloor nx\rfloor$ vraie pour tout entier naturel non nul $n$ et tout réel $x$ réside du fait que $$\lfloor (n+1)x\rfloor =\lfloor nx+x\rfloor \ge \lfloor nx\rfloor +\lfloor x\rfloor (\lfloor x+y\rfloor \ge \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor )$$ et une récurrence immédiate sur $n$.

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[CHOUKRI]

Une autre méthode plus longue mais plus astucieuse consiste à remarquer qu’en posant $f(x)=\lfloor {\displaystyle \frac{\lfloor nx\rfloor }{n}}\rfloor -\lfloor x\rfloor$ pour tout réel $x$. La fonction $f$ de variable réelle ainsi définie, il s’agit de montrer que la fonction $f$ est nulle. Commençons par remarquer que pour tout réel $x$, on a $$f(x+1)=\lfloor {\displaystyle \frac{\lfloor n(x+1)\rfloor }{n}}\rfloor -\lfloor x+1\rfloor =\lfloor {\displaystyle \frac{\lfloor nx\rfloor }{n}}\rfloor +1-\lfloor x\rfloor -1=\lfloor {\displaystyle \frac{\lfloor nx\rfloor }{n}}\rfloor -\lfloor x\rfloor =f(x)$$

Ainsi, la fonction $f$ est 1-périodique. Il suffit de montrer que la fonction $f$ est nulle sur l’intervalle $[0,1[$. En distinguant, les cas $x\in [{\displaystyle \frac{k}{n}},{\displaystyle \frac{k+1}{n}}[$ pour $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$, on retrouve le résultat. CQFD.

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