Forums Supérieur Algèbre et Géométrie Matrices semblables

Ce sujet a 0 réponse, 1 participant et a été mis à jour par  Mohamed, il y a 4 ans et 3 mois.

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    Mohamed
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    On rappelle que deux matrices carrées $A$ et $B$ d’ordre $n$ (entier naturel non nul donné)  à coefficients dans un corps commutatif  $\mathbb K$ sont semblables s’il existe une matrice $P \in GL_n(\mathbb K)$ tel que $B=P^{-1}AP$. Cela revient à dire que $A$ et $B$ représentent un même endomorphisme $u$ de $\mathbb K^n$ dans des bases respectives.

    Dans tout ce qui suit $\mathbb K$ designe $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

    1) Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb R)$ tel que $ A \neq 0$  et $A^2=0$. Prouver que $A$  est semblable à $B=\begin {pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$.

    2) Soit $n \in \mathbb N$  tel que $n \geq 3$  et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb K)$ tel que $ A \neq 0$  et $A^2=0$. Prouver que $A$  est semblable à la matrice par blocs  $B=\begin {pmatrix}0&I_r\\0&0\end{pmatrix}$ où $I_r$ est la matrice d’ordre $r$ dont les coefficients diagonaux valent $1$  et les autres $0$.

    • Ce sujet a été modifié le il y a 4 ans et 3 mois par  Mohamed.
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