on pose $p=\frac{1}{x}$ et $m=\frac{1}{y}$
donc on doit trouver les valeurs de $p+m$
l’eq de base est equivalente à $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{3}{xy}=1$
ce qui est equivalent à $p^3+m^3+3pm=1 \iff (p+m)^3-1-3m^2p-3p^2m+3pm=0$
$(p+m-1)((p+m)^2+(p+m)+1)-3pm(m+p-1)=0$
$(p+m-1)(p^2+m^2+p+m-pm)=0$
donc $p+m=1$ ou $p^2+m^2+p+m-pm=0$
pour la deuxieme eq , on calcule le discreminent et on trouve qu il est egal à $-3(p+1)^2$
d où $p=-1$ et de meme $m=-1$
donc les valeurs possibles de $p+m$ sons $1$ et $-2$