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Bonsoir Paradox,
Tout d’abord, je te prie de m’excuser pour ma réponse tardive.
Tu as raison sur la nuance entre fonction et application. Elle existe et tu as bien eu raison de le rappeler. Moi-même j’ai lu ton message trop vite et je suis passé à côté. Finalement, ta question était bien posée, et c’est moi qui l’ai lue trop vite
Pour répondre à ta question : Y a-t il d’autres fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ à part $x^2$ et valeur absolue qui ne soient pas injective ?
La réponse est oui
Par exemple, la fonction $f$ définie $\mathbb{IR}$ dans $\mathbb{IR}$ par :
$$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$$
Tu peux t’amuser à le démontrer en partant de la définition :
Si $f$ est injective, alors $\forall x_1\,,\,x_2\in\mathbb{R}\,$, $f(x_1)=f(x_2)\quad\Rightarrow x_1=x_2$
Saïd
Hello Paradox,
Du coup, je crains que je n’ai pas compris la question
Ma compréhension est la suivante : Est-ce que toute fonction définie est injective ?
Du coup, je t’ai répondu via le contre-exemple (évidement $f\,:\,x\mapsto x^2$ n’est pas injective), et je t’avoue que j’avais un doute quant à la question mais j’ai répondu malgré tout, sait-on jamais
Dans l’attente de la question reformulée
Saïd
Bonsoir Paradox,
La réponse est non
La façon la plus simple pour le démontrer est de prendre un contre-exemple.
La fonction $f$ définie par $\displaystyle f(x)=x^2$ est définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ mais n’est pas injective.
Pour le montrer, il suffit de montre qu’ils existent deux réels $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1)=f(x_2)$ et $x_1\neq x_2$.
Tu as $f(1)=1$ et $f(-1)=1$, donc $f(1)=f(-1)$
Ils existent donc deux réels $x_1=1$ et $x_2=-1$ tels que $x_1\neq x_2$ et $f(x_1)=f(x_2)$.
$f$ n’est donc pas injective.
Saïd
Bonsoir tbwa, all,
L’ancien Forum est accessible à cette adresse : http://mathsland.com/ancien-forum
Bonne nuit.
Saïd
Bonsoir twba,
Le lien vers l’ancien Forum est prévu. Encore quelques réglages et il sera là
Il sera positionné dans cette rubrique du Forum.
Bonne soirée.
Saïd
Merci beaucoup Mohamed pour ce premier message sur le nouveau site
Une première étape a été franchie hier avec la mise en ligne.
Durant les prochains jours, nous observons sa stabilité et nous ajusterons ses usages et ses fonctionnalités.
D’ici la rentrée scolaire de Septembre 2016, toutes les rubriques seront en place avec le contenu associé.
Nous espérons être au rendez-vous de vos attentes. N’hésitez pas à nous signaler d’éventuels problèmes que vous rencontreriez, soit via le Forum, ou via la messagerie privée ou par email à contact@mathsland.com.
Saïd