Partie I Soit $t$ un réel. 1. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $\displaystyle t\mapsto e^{-t}$, montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, il existe un réel $\theta$ dans l’intervalle $\displaystyle ]0\,,\,x[$ tel que : $$e^{\theta}=\frac{x}{1-e^{-x}}$$ 2. En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif, on a : (a) […]

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Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{e^{x}-1} \,\,\,\,\,&\text{Si}\,x\neq 0\\ 1\,\qquad &\text{Si}\,x=0 \end{cases}$$ On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal. Préambule 1. Étudier le signe de la fonction $g$ définie par : $$g:\,\begin{cases} \mathbb{R}\to\mathbb{R} & \\ x\mapsto (1-x)e^{x}-1& \end{cases}$$   2. Soient $\Delta_{1}\,$ et $\,\Delta_{2}$ les fonctions définies sur […]

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