Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\neq b$ et $f$ l’application de $\displaystyle [a\,;\,b]$ dans $\displaystyle [a\,;\,b]$ définie par :   $$\begin{cases}f\left([a\,;\,b]\subset [a\,;\,b]\right)\\\\\forall (x\,;\,y)\in [a\,;\,b]\times [a\,;\,b]\,,\quad|f(x)-f(y)|<|x-y|\end{cases}$$   1. Montrer que $f$ est continue sur $\displaystyle [a\,;\,b]$. 2. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ de $\displaystyle [a\,;\,b]$ par : $$g(x)=f(x)-x$$ 2.1 […]

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Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=x^{n+1}-2x^n+1$$   1. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $\displaystyle\left[0\,;\,\frac{2n}{n+1}\right]$. 2. En déduire que $f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<0$. 3. Montrer qu’il existe un réel $\alpha$ dans l’intervalle $\displaystyle\left[\frac{2n}{n+1}\,;\,2\right]$ tel que $f(\alpha)=0$.   FIN Vous trouverez dans cet onglet […]

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