$n$ est un entier naturel non nul. L’objet de cet exercice est l’étude des racines de l’équation : $$(E_n)\,:\quad\ln(x)+x=n$$ À cet effet, on introduit la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $$f(x)=\ln(x)+x$$ Existence des racines de $(E_n)$ : 1. Etudier les variations de la fonction $f$. 2. Montrer que […]

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Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\neq b$ et $f$ l’application de $\displaystyle [a\,;\,b]$ dans $\displaystyle [a\,;\,b]$ définie par :   $$\begin{cases}f\left([a\,;\,b]\subset [a\,;\,b]\right)\\\\\forall (x\,;\,y)\in [a\,;\,b]\times [a\,;\,b]\,,\quad|f(x)-f(y)|<|x-y|\end{cases}$$   1. Montrer que $f$ est continue sur $\displaystyle [a\,;\,b]$. 2. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ de $\displaystyle [a\,;\,b]$ par : $$g(x)=f(x)-x$$ 2.1 […]

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On note $I$ l’intervalle $]0\,,\,+\infty[$ et on considère la fonction $F$ définie sur $I$ par : $$F(x)=\int_{\ln(2)}^{x}\frac{dt}{\sqrt{e^t-1}}$$ 1.a. Etudier le signe de $F(x)$ pour tout réel $x$ dans $I$. 1.b. Montrer que $F$ est dérivable sur $I$ et donner l’expression de $F^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ dans $I$. 1.c. Montrer que $F$ est strictement croissante […]

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