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Arctangente, étude de fonctions

Laisser un commentaire / Terminale S Etoile, Terminale Sc. Math / Par Saïd BENLAADAM

Soit $f$ la fonction définie par : $f (x) = {\begin{cases} x \arctan (\frac{1}{x}) & Si x \neq 0 \\ 0 & Si x = 0 \end{cases}$ On note $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1. $f$ est-elle continue sur $R$ ? 2. $f$ est-elle dérivable sur $R$ ? 3. Déterminer la limite : $lim_{x \to + \infty} f (x)$ 4. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a …

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Autour de l’exponentielle, Suites adjacentes

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$n$ est un entier naturel et $x$ un réel supérieur ou égal à zéro. On considère les deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$ supérieur ou égal à zéro par : $u_{n} (x) = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}$ et $v_{n} (x) = u_{n} (x) + \frac{x^{n}}{n!}$ PARTIE I 1. Donner les valeurs de …

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Suites, LN, Bijection, Résolution d’une équation

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$n$ est un entier naturel non nul. L’objet de cet exercice est l’étude des racines de l’équation : $(E_{n}) : \ln (x) + x = n$ À cet effet, on introduit la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $R_{+}^{*}$ par : $f (x) = \ln (x) + x$ Existence des racines de $(E_{n})$ : 1. Etudier les variations de la fonction $f$ . 2. Montrer que …

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Limite d’une suite, monotonie, point fixe, convergence

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Soit $a$ un réel strictement positif différent de $1$ . Et soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u_{n}})$ 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ , on a : $u_{n} > \sqrt{a}$ 2. Montrer que la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante. …

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Une limite classique, suites, factorielle

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On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ différent de zéro par : $u_{n} = \frac{2^{n}}{n!}$ 1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante. 2. En déduire que $(u_{n})$ est convergente. 3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ , on a : $2 \times 3^{n - 2} \leq n!$ 4. En …

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Suites, factorielle, inégalités, monotonie

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On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ par : $u_{n} = \frac{n^{n + 1}}{2^{n} n!}$ 1. Montrer que pour tout $n$ dans $N^{*}$ , on a : ${(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1} > 2$ 2. En déduire que la suite $(u_{n})$ est strictement croissante. 3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ , …

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Théorème des valeurs intermédiaires, continuité

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Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \neq b$ et $f$ l’application de $[a; b]$ dans $[a; b]$ définie par : ${\begin{cases} f ([a; b] \subset [a; b]) \\ \forall (x; y) \in [a; b] \times [a; b], | f (x) - f (y) | < | x - y | \end{cases}$ 1. Montrer que $f$ est continue sur $[a; b]$ . 2. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ de $[a; b]$ par : $g (x) = f (x) - x$ 2.1 …

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Autour de l’arctangente

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Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $f (x) = \arctan (\sqrt{1 + x^{2}} - x)$ 1. Sans étudier les variations de la fonction $f$ , montrer que pour tout réel $x$ , on a l’encadrement suivant : $0 < f (x) < \frac{π}{2}$ 2. Montrer que pour tout réel $x$ , on a : $1 - \tan^{2} (f (x)) = 2 x \tan (f (x))$ 3. En déduire que pour tout réel $x$ …

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Équation fonctionnelle, continuité

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Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs, et $f$ la fonction définie sur l’intervalle $] 0, + \infty [$ par : ${\begin{cases} f (x y) = f (x) + f (y) \\ f est continue au point x_{0} = 1 \end{cases}$ 1. Calculer $f (1)$ . 2. Soit $α$ un réel strictement positif. 2.1 Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $f (x) = f (\frac{x}{α}) + f (α)$ 2.2 Calculer la limite …

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Théorème des valeurs intermédiaires, sens de variation

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Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ . On considère la fonction $f$ définie par : $f (x) = x^{n + 1} - 2 x^{n} + 1$ 1. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0; \frac{2 n}{n + 1}]$ . 2. En déduire que $f (\frac{2 n}{n + 1}) < 0$ . 3. Montrer qu’il existe un réel $α$ dans l’intervalle $[\frac{2 n}{n + 1}; 2]$ tel que $f (α) = 0$ . FIN Vous trouverez dans cet onglet …

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