Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\begin{cases}x\,\arctan\left(\frac{1}{x}\right) \,\,\,\,\,&\text{Si}\,x\neq 0\\ 0\,\qquad &\text{Si}\,x=0 \end{cases}$$ On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1. $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? 2. $f$ est-elle dérivable sur $\mathbb{R}$ ? 3. Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ 4. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a …
$n$ est un entier naturel et $x$ un réel supérieur ou égal à zéro. On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$ supérieur ou égal à zéro par : $\displaystyle u_n(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}$ et $\displaystyle v_n(x)=u_n(x)+\frac{x^n}{n!}$ PARTIE I 1. Donner les valeurs de …
Autour de l’exponentielle, Suites adjacentes Lire la suite »
$n$ est un entier naturel non nul. L’objet de cet exercice est l’étude des racines de l’équation : $$(E_n)\,:\quad\ln(x)+x=n$$ À cet effet, on introduit la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $$f(x)=\ln(x)+x$$ Existence des racines de $(E_n)$ : 1. Etudier les variations de la fonction $f$. 2. Montrer que …
Suites, LN, Bijection, Résolution d’une équation Lire la suite »
Soit $a$ un réel strictement positif différent de $1$. Et soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par : $$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$$ 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$u_n>\sqrt{a}$$ 2. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. …
Limite d’une suite, monotonie, point fixe, convergence Lire la suite »
On considère la suite $\displaystyle (u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ différent de zéro par : $$u_n=\frac{2^n}{n!}$$ 1. Montrer que la suite $\displaystyle (u_n)$ est décroissante. 2. En déduire que $\displaystyle (u_n)$ est convergente. 3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a : $$2\times 3^{n-2}\leq n!$$ 4. En …
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ par : $$u_n=\frac{n^{n+1}}{2^n\,n!}$$ 1. Montrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a : $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>2$$ 2. En déduire que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. 3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, …
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\neq b$ et $f$ l’application de $\displaystyle [a\,;\,b]$ dans $\displaystyle [a\,;\,b]$ définie par : $$\begin{cases}f\left([a\,;\,b]\subset [a\,;\,b]\right)\\\\\forall (x\,;\,y)\in [a\,;\,b]\times [a\,;\,b]\,,\quad|f(x)-f(y)|<|x-y|\end{cases}$$ 1. Montrer que $f$ est continue sur $\displaystyle [a\,;\,b]$. 2. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ de $\displaystyle [a\,;\,b]$ par : $$g(x)=f(x)-x$$ 2.1 …
Théorème des valeurs intermédiaires, continuité Lire la suite »
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $$f(x)=\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$$ 1. Sans étudier les variations de la fonction $f$, montrer que pour tout réel $x$, on a l’encadrement suivant : $$0<f(x)<\frac{\pi}{2}$$ 2. Montrer que pour tout réel $x$, on a : $$1-\tan^2(f(x))=2x\tan(f(x))$$ 3. En déduire que pour tout réel $x$ …
Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs, et $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0\,,\,+\infty[$ par : $$\begin{cases}f(xy)=f(x)+f(y)\\\\f \text{ est continue au point } x_0=1\end{cases}$$ 1. Calculer $f(1)$. 2. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. 2.1 Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f(x)=f\left(\frac{x}{\alpha}\right)+f(\alpha)$$ 2.2 Calculer la limite …
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=x^{n+1}-2x^n+1$$ 1. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $\displaystyle\left[0\,;\,\frac{2n}{n+1}\right]$. 2. En déduire que $f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<0$. 3. Montrer qu’il existe un réel $\alpha$ dans l’intervalle $\displaystyle\left[\frac{2n}{n+1}\,;\,2\right]$ tel que $f(\alpha)=0$. FIN Vous trouverez dans cet onglet …
Théorème des valeurs intermédiaires, sens de variation Lire la suite »