On considère la suite $\displaystyle (u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ différent de zéro par : $$u_n=\frac{2^n}{n!}$$ 1. Montrer que la suite $\displaystyle (u_n)$ est décroissante. 2. En déduire que $\displaystyle (u_n)$ est convergente. 3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a : $$2\times 3^{n-2}\leq n!$$ 4. En […]

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Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $$f(x)=\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$$   1. Sans étudier les variations de la fonction $f$, montrer que pour tout réel $x$, on a l’encadrement suivant : $$0<f(x)<\frac{\pi}{2}$$   2. Montrer que pour tout réel $x$, on a : $$1-\tan^2(f(x))=2x\tan(f(x))$$   3. En déduire que pour tout réel $x$ […]

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Soit $f$ une fonction définie et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$   1. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Montrer que : $$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$   2. En déduire que si $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$, alors $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.   FIN Vous trouverez dans cet onglet […]

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Cet exercice réunit quelques-unes des notions importantes en ce début d’année scolaire : Calcul de limites, notion de continuité et la fonction partie entière. Il est particulièrement intéressant dans la mesure où il vous amène à mettre en oeuvre la méthode de l’encadrement, souvent utilisée dans les calculs de limites avec partie entière. Le résultat de la […]

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L’objectif de cet exercice est de vous donner une méthodologie pour calculer ce type de limite avec partie entière. L’exercice contient beaucoup de technicité. J’ai essayé de structurer le raisonnement de sorte à ce que vous puissiez réutiliser cette méthodologie pour d’autres exercices de limite avec partie entière. Le plus important à mon sens et […]

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Tout d’abord, pardon pour cette longue absence. Durant ces quinze derniers jours, j’étais très occupé par mon travail quotidien. La rentrée est synonyme de lancement de nouveaux projets dans les entreprises Je reprends le fil et je propose cet exercice qui consiste à calculer une limite avec partie entière.   RAPPELS : La partie entière (par […]

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Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\sqrt{x^2-2x\cos(x)+1}$$ Déterminer les limites éventuelles : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$   Vous trouverez dans cet onglet des indications pour les passages délicats ou particulièrement difficiles   Avant de commencer les calculs, il ne faut pas oublier de regarder si la fonction $f$ est bien définie au voisinage de $+\infty$ […]

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