On considère la suite $\displaystyle (u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ différent de zéro par : $$u_n=\frac{2^n}{n!}$$ 1. Montrer que la suite $\displaystyle (u_n)$ est décroissante. 2. En déduire que $\displaystyle (u_n)$ est convergente. 3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a : $$2\times 3^{n-2}\leq n!$$ 4. En […]

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Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$ par : $$f(x)=x^2\,\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$   1. Vérifier que $f$ est bien définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$. 2. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}E(x)=+\infty$. 3. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{E(x)}{x^2}=0$. 4. En déduire la valeur de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$.   FIN Vous trouverez dans cet onglet des indications […]

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Soit $f$ une fonction définie et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$   1. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Montrer que : $$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$   2. En déduire que si $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$, alors $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.   FIN Vous trouverez dans cet onglet […]

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Dans cet article, je propose de revenir sur la notion de limite d’une fonction en un point à travers des situations simples, mais qui restent parfois peu assimilées. J’espère que cet article vous aidera en classe de terminale. Bonne lecture  Soit $f$ la fonction définie par : $$f\,:\begin{cases}x-1\qquad\qquad\text{si }x\neq 2\\\text{indéfinie}\qquad\,\,\,\text{si }x=2\end{cases}$$ La représentation graphique de $f$ […]

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Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\sqrt{x^2-2x\cos(x)+1}$$ Déterminer les limites éventuelles : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$   Vous trouverez dans cet onglet des indications pour les passages délicats ou particulièrement difficiles   Avant de commencer les calculs, il ne faut pas oublier de regarder si la fonction $f$ est bien définie au voisinage de $+\infty$ […]

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Dans cet exercice, je reviens sur le calcul des limites de fonctions donnant lieu à des formes indéterminées et les premières techniques pour lever ces indéterminations. Comme ses prédécesseurs que vous pouvez lire en cliquant ici et là, c’est un exercice de révisions et de rappels. Il ne présente pas de difficultés majeures et vise […]

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Cet exercice traitant des limites d’une fonction composée fait partie d’une série de révisions et de rappels autour des limites de fonctions. La série a été commencée hier matin avec ce premier article que vous pouvez consulter ici. Cet exercice ne présente pas de grandes difficultés, il vise avant tout à rafraîchir les connaissances, revenir sur les […]

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Calcul de limites : Polynômes, fonction rationnelle. Cette exercice ne présente pas de difficultés particulières. Il vise surtout à rafraîchir les connaissances en rappelant les méthodes vues l’année dernière, et à vous donner des éléments rédactionnels. Bon exercice 1) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^3+3x-7$. 2) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^4-3x^2+7x-1$. 3) Déterminer les limites […]

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On note $I$ l’intervalle $]0\,,\,+\infty[$ et on considère la fonction $F$ définie sur $I$ par : $$F(x)=\int_{\ln(2)}^{x}\frac{dt}{\sqrt{e^t-1}}$$ 1.a. Etudier le signe de $F(x)$ pour tout réel $x$ dans $I$. 1.b. Montrer que $F$ est dérivable sur $I$ et donner l’expression de $F^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ dans $I$. 1.c. Montrer que $F$ est strictement croissante […]

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$n$ est un entier naturel non nul. On considère la famille de fonctions $f_n$ définies sur l’intervalle $]-1\,,\,+\infty[$ par : $$f_n(x)=x^{n}\ln(1+x)$$ PARTIE I Cette partie est consacrée à l’étude de la famille des fonctions $f_n$. Soit $n\in \mathbb{N}^{*}$. On note $g_{n}$ la fonction définie sur $]-1\,,\,+\infty[$ par : $$g_{n}(x)=n\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}$$ 1. Justifier la dérivabilité de $g_{n}$ sur […]

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